6. Решите систему неравенств: (x - 1)(x - 2) >= 0; x(x - 10) <= 0 сделай чертеж

Давайте подробно разберем систему неравенств и построим её графически.

Задача:
\[ ( x - 1 )( x - 2 ) \geq 0 \quad \text{и} \quad x ( x - 10 ) \leq 0 \]

Шаг 1: Анализ первого неравенства \(( x - 1 )( x - 2 ) \geq 0\)

• Разложение показывает, что выражение равно нулю при \(x=1\) и \(x=2\).

• Манипуляция: знак выражения зависит от знаков множителей.

• Тестовые точки:

  • \(x < 1\): например, \(x=0\): \((0-1)(0-2) = (-1)(-2) = 2 \geq 0\). Значит, неравенство выполняется.
  • \(1 < x < 2\): например, \(x=1.5\): \((1.5-1)(1.5-2) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0\). Не выполняется.
  • \(x > 2\): например, \(x=3\): \((3-1)(3-2)= (2)(1)=2 \geq 0\). Выполняется.

• Итог:
  \[ ( x - 1 )( x - 2 ) \geq 0 \text{ при } x \leq 1 \quad \text{или} \quad x \geq 2 \]

• Ключевые точки: \(x=1\), \(x=2\).

• На графике — нужно закрасить области:

  • \(\left(-\infty, 1\right]\)
  • \(\left[2, +\infty\right)\)

Шаг 2: Анализ второго неравенства \(x(x - 10) \leq 0\)

• Разложение: нули при \(x=0\) и \(x=10\).

• Тестовые точки:

  • \(x<0\): например, \(x=-1\): \((-1)(-1-10)=(-1)(-11)=11 > 0\). Не выполняется.
  • \(0 < x < 10\): например, \(x=5\): \(5(5-10)=5(-5) = -25 \leq 0\). Выполняется.
  • \(x>10\): например, \(x=11\): \(11(11-10)=11(1)=11 > 0\). Не выполняется.

• Итог:
  \[ x(x - 10) \leq 0 \text{ при } 0 \leq x \leq 10 \]

• Включительно: \(x=0\) и \(x=10\).

Шаг 3: Объединение решений

Мы ищем значения \(x\), для которых оба неравенства выполняются одновременно.

• Первое неравенство: \(x \leq 1\) или \(x \geq 2\).
• Второе неравенство: \(0 \leq x \leq 10\).

Области пересечения:

• \(x \leq 1\) и \(0 \leq x \leq 10\):
  • Между 0 и 1: \([0, 1]\) — подходит, так как \(x \leq 1\) и \(x \in [0,10]\).
• \(x \geq 2\) и \(0 \leq x \leq 10\):
  • от 2 до 10: \([2, 10]\).

Итог:

\[ \boxed{ x \in [0, 1] \cup [2, 10] } \]

Чертеж

Чтобы изобразить графики и решить задачу на чертеже:

1. Построим числовую ось.

2. Отметим точки: \(x=0, 1, 2, 10\).

3. Для первого неравенства закрасим области:

   • \([-\infty, 1]\)
   • \([2, +\infty)\)

4. Для второго:

   • \([0,10]\)

5. Пересечение — это части, включённые в оба множества:

   • \([0,1]\)
   • \([2,10]\)

Этот график на оси показывает области решений.

Если хочешь, я могу подготовить более точный скетч или пояснить еще что-либо!