Сколько должно быть произведено независимых измерений некоторой физической величины, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,98, можно было утверждать, что среднее арифметическое…
Сколько должно быть произведено независимых измерений некоторой физической величины, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,98, можно было утверждать, что среднее арифметическое результатов измерений отличается от истинного значения по модулю не больше чем на 0,01, если дисперсия отдельного результата измерения не превосходят 1?
Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Вероятность того, что среднее отличие не превысит 0,01, не менее 0,98 (P ≥ 0,98).
- Допустимая погрешность: ε = 0,01.
- Максимальная дисперсия одного измерения: D ≤ 1.
- Необходимое число измерений: n (искать минимум n).
Шаг 1: Что требуется
Нам нужно найти минимальное n, чтобы с вероятностью не менее 0,98 среднее арифметическое результатов измерений отличалось от истинного значения не более чем на ε.
Шаг 2: Используем асимптотическую вероятность
Если измерения независимы и одинаково распределены с дисперсией D, то сложение или среднее имеет:
- Математическое ожидание: μ (истинное значение),
- Дисперсию среднего: D / n.
На практике, для большого n, распределение среднего приближается к нормальному (закон больших чисел, ЦПТ).
Следовательно, вероятность того, что отклонение среднего от μ больше ε, можно аппроксимировать через нормальное распределение:
\[ P(|\bar{X} - \mu| > \varepsilon) \leq \alpha, \]
где \(\alpha = 1 - 0,98 = 0,02\).
Шаг 3: Использование нормального приближения
По свойствам нормального распределения:
\[ P(|\bar{X} - \mu| > \varepsilon) = 2 \Phi\left(-\frac{\varepsilon}{\sigma / \sqrt{n}}\right), \]
где \(\Phi\) — функция стандартного нормального распределения, а \(\sigma^2 = D \leq 1\).
Значит,
\[ 2 \Phi\left(-\frac{\varepsilon \sqrt{n}}{\sigma}\right) \leq 0,02, \] или \[ \Phi\left(-\frac{\varepsilon \sqrt{n}}{\sigma}\right) \leq 0,01, \] так как \(2 \times 0,01 = 0,02\).
Обратим внимание, что \(\Phi(z)\) — это кумулятивная функция:
\[ \Phi(z) = P(Z \leq z), \]
где Z — стандартное нормальное распределение.
Из таблицы стандартных нормальных значений:
\[ \Phi(z) = 0,01 \Rightarrow z \approx -2,33, \]
то есть
\[ -\frac{\varepsilon \sqrt{n}}{\sigma} \leq -2,33, \]
или равносильно
\[ \frac{\varepsilon \sqrt{n}}{\sigma} \geq 2,33. \]
Шаг 4: Решение для n
Подставим \(\varepsilon=0,01\), \(\sigma \leq 1\):
\[ 0,01 \times \sqrt{n} \geq 2,33 \times 1, \]
\[ \sqrt{n} \geq \frac{2,33}{0,01} = 233. \]
Итак,
\[ n \geq (233)^2 = 54,289. \]
Минимальное целое n:
\[ \boxed{n \geq 55}. \]
Ответ:
Требуется произвести минимум 55 независимых измерений для выполнения условий задачи.
