Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Вероятность того, что среднее отличие не превысит 0,01, не менее 0,98 (P ≥ 0,98).
- Допустимая погрешность: ε = 0,01.
- Максимальная дисперсия одного измерения: D ≤ 1.
- Необходимое число измерений: n (искать минимум n).
Шаг 1: Что требуется
Нам нужно найти минимальное n, чтобы с вероятностью не менее 0,98 среднее арифметическое результатов измерений отличалось от истинного значения не более чем на ε.
Шаг 2: Используем асимптотическую вероятность
Если измерения независимы и одинаково распределены с дисперсией D, то сложение или среднее имеет:
- Математическое ожидание: μ (истинное значение),
- Дисперсию среднего: D / n.
На практике, для большого n, распределение среднего приближается к нормальному (закон больших чисел, ЦПТ).
Следовательно, вероятность того, что отклонение среднего от μ больше ε, можно аппроксимировать через нормальное распределение:
[
P(|\bar{X} - \mu| > \varepsilon) \leq \alpha,
]
где (\alpha = 1 - 0,98 = 0,02).
Шаг 3: Использование нормального приближения
По свойствам нормального распределения:
[
P(|\bar{X} - \mu| > \varepsilon) = 2 \Phi\left(-\frac{\varepsilon}{\sigma / \sqrt{n}}\right),
]
где (\Phi) — функция стандартного нормального распределения, а (\sigma^2 = D \leq 1).
Значит,
[
2 \Phi\left(-\frac{\varepsilon \sqrt{n}}{\sigma}\right) \leq 0,02,
]
или
[
\Phi\left(-\frac{\varepsilon \sqrt{n}}{\sigma}\right) \leq 0,01,
]
так как (2 \times 0,01 = 0,02).
Обратим внимание, что (\Phi(z)) — это кумулятивная функция:
[
\Phi(z) = P(Z \leq z),
]
где Z — стандартное нормальное распределение.
Из таблицы стандартных нормальных значений:
[
\Phi(z) = 0,01 \Rightarrow z \approx -2,33,
]
то есть
[
-\frac{\varepsilon \sqrt{n}}{\sigma} \leq -2,33,
]
или равносильно
[
\frac{\varepsilon \sqrt{n}}{\sigma} \geq 2,33.
]
Шаг 4: Решение для n
Подставим (\varepsilon=0,01), (\sigma \leq 1):
[
0,01 \times \sqrt{n} \geq 2,33 \times 1,
]
[
\sqrt{n} \geq \frac{2,33}{0,01} = 233.
]
Итак,
[
n \geq (233)^2 = 54,289.
]
Минимальное целое n:
[
\boxed{n \geq 55}.
]
Ответ:
Требуется произвести минимум 55 независимых измерений для выполнения условий задачи.
