^3S^-2 (4x^3-5x^4+1)dx

Давайте решим данный интеграл:
\[ \int ^3 S^{-2} (4x^3 - 5x^4 + 1) dx \]

Здесь, скорее всего, имеется в виду интеграл функции вида:
\[ \int \frac{4x^3 - 5x^4 + 1}{x^3} dx \]

Поскольку есть показатель \(S^{-2}\), он, возможно, обозначает, что функция делится на \(x^3\). Тогда задача — проинтегрировать:
\[ \int \frac{4x^3 - 5x^4 + 1}{x^3} dx \]

или, если иначе — пожалуйста, уточните.

Предположим, задача:

\[ \int \frac{4x^3 - 5x^4 + 1}{x^3} dx \]

Шаг 1: Упростим выражение под интегралом

Разделим каждый член числителя на \(x^3\):

\[ \frac{4x^3}{x^3} - \frac{5x^4}{x^3} + \frac{1}{x^3} \]

\[ = 4 - 5x + x^{-3} \]

Тогда интеграл становится:

\[ \int (4 - 5x + x^{-3}) dx \]

Шаг 2: Интегрируем по частям

Интеграл разбит на сумму трех интегралов:

\[ \int 4 dx - 5 \int x dx + \int x^{-3} dx \]

Рассмотрим отдельно:

• \(\int 4 dx = 4x + C_1\)
• \(-5 \int x dx = -5 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = -\frac{5}{2} x^2 + C_2\)

Шаг 3: Найдём интеграл \(\int x^{-3} dx\)

Общий случай: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), если \(n \neq -1\).

Здесь \(n = -3\), так что:

\[ \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3 + 1}}{-3 + 1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C \]

Итоговое решение:

\[ \boxed{ \int \frac{4x^3 - 5x^4 + 1}{x^3} dx = 4x - \frac{5}{2} x^2 - \frac{1}{2x^2} + C } \]

Если исходная запись отличалась от предположенной, пожалуйста, уточните задание.