Из точки, находящийся на расстоянии 10 см от центра окружности с радиусом 5 см, проведены две касательные.Найдите расстояние между точками касания.

Рассмотрим задачу: из точки, которая находится на расстоянии 10 см от центра окружности с радиусом 5 см, проведены две касательные. Нужно найти расстояние между точками касания. Обозначим: - \( O \) — центр окружности. - \( T \) — точка, из которой проведены касательные. Дано: - \( OT = 10 \) см - радиус окружности \( r = 5 \) см Задача: найти расстояние между точками касания \( A \) и \( B \). --- ### Шаг 1: Нарисуем схему и запишем известные данные Обозначим: - \( A \) и \( B \) — точки касания касательных \( TA \) и \( TB \) с окружностью. - \( T \) — точка вне окружности. На рисунке: - \( OT = 10 \) см - \( OA = OB = r = 5 \) см - \( OA \perp TA \), \( OB \perp TB \) (касательная перпендикулярна радиусу в точке касания). --- ### Шаг 2: Понимание геометрии Касательные из одной точки к окружности равны по длине и касательные \( TA \) и \( TB \) — равны. Обозначим: - \( A \) и \( B \) — точки касания, нам нужно найти длину отрезка \( AB \). Также, - \( O \) — центр окружности, - \( T \) — точка внешняя. Точки \( A \) и \( B \) лежат на окружности. --- ### Шаг 3: Используем свойства касательных и радиуса Поскольку \( OA \perp TA \) и \( OB \perp TB \), треугольники \( OTA \) и \( OTB \) — правые, с гипотенузой \( OT \), катетами радиуса \( r \) и отрезком \( AT \). Рассмотрим треугольник \( OTA \): - \( OT = 10 \) см - \( OA = 5 \) см - \( AT \) — длина касательной (одинакова для обеих). Т.к. \( OA \perp TA \), то \( OTA \) — прямоугольный треугольник. --- ### Шаг 4: Задача сводится к нахождению длины отрезка \( AB \) Для этого можно применить теорию о расстоянии между точками касания: - \( AB \) — отрезок, соединяющий две точки касания. - Точки касания \( A \) и \( B \) лежат на окружности, а точки \( T \) — вне её, с расстоянием до центра \( O \) равным 10 см. Из геометрии известно, что: \[ AB = 2 \sqrt{OT^2 - r^2} \] Это классическая формула для расстояния между двумя точками касания, проведённых из одной точки \( T \), внешней по отношению к окружности (см. Теорему о касательных и их отношении). --- ### Шаг 5: Подставляем численные значения и считаем Подставим: \[ AB = 2 \sqrt{10^2 - 5^2} = 2 \sqrt{100 - 25} = 2 \sqrt{75} \] Далее: \[ AB = 2 \times \sqrt{75} = 2 \times 5 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ AB = 10 \sqrt{3} \text{ см} } \] Это примерно: \[ AB \approx 10 \times 1.732 = 17.32 \text{ см} \] --- Если есть дополнительные вопросы или нужно более детальное объяснение каждого шага, скажите!