Имеется два плоских конденсатора, обкладками которого являются круглые пластины. Радиус обкладок первого конденсатора R, расстояние между ними d, а изолирующим материалом служит…
Имеется два плоских конденсатора, обкладками которого являются круглые пластины. Радиус обкладок первого конденсатора R, расстояние между ними d, а изолирующим материалом служит воздух. Второй конденсатор состоит из двух пластин радиусом R/3, зазор между которыми равен d, а в качестве изолирующего материала используется некоторое вещество. Чему равна диэлектрическая проницаемость данного вещества, если емкости описанных выше конденсаторов равны?
Давайте подробно разберем задачу и найдем диэлектрическую проницаемость вещества, которая обеспечивает равенство емкостей двух конденсаторов.
Дано:
Первый конденсатор:
- Обкладки: круглые пластины радиуса \( R \)
- Расстояние между пластинами: \( d \)
- Изолирующий материал: воздух (диэлектрическая проницаемость \( \varepsilon_0 \))
Второй конденсатор:
- Обкладки: радиус \( R/3 \)
- Расстояние между пластинами: также \( d \)
- Изолирующий материал: некоторое вещество, диэлектрическая проницаемость которого \( \varepsilon \)
Цель:
Найти \( \varepsilon \), если емкости конденсаторов равны.
Шаг 1: Формула емкости плоского конденсатора
Для плоского конденсатора, с пластинами радиусов \( R_1 \) и \( R_2 \), заполненного диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \( \varepsilon_r \), емкость находят по формуле:
\[ C = \varepsilon \frac{S}{d} \]
где:
- \( \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r \),
- \( S \) — площадь одной из пластин (предполагая, что пластины совпадают и образуют круг, поскольку у них одинаковый радиус),
- \( d \) — расстояние между пластинами.
Площадь пластины радиуса \( R \):
\[ S = \pi R^2 \]
Шаг 2: Записать емкости
Первый конденсатор: \[ C_1 = \varepsilon_0 \frac{\pi R^2}{d} \]
Второй конденсатор: Площадь пластин радиуса \( R/3 \):
\[ S_2 = \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \pi \frac{R^2}{9} \]
Эта пластина исполняет роль покрытия с диэлектриком, поэтому:
\[ C_2 = \varepsilon_0 \varepsilon \frac{\pi R^2 / 9}{d} \]
Шаг 3: Условие равенства емкостей
Задача говорит, что \( C_1 = C_2 \):
\[ \varepsilon_0 \frac{\pi R^2}{d} = \varepsilon_0 \varepsilon \frac{\pi R^2 / 9}{d} \]
Упростим обе части уравнения, сократив одинаковые множители \( \varepsilon_0 \), \( \pi R^2 \), \( d \):
\[ 1 = \varepsilon \frac{1}{9} \]
Отсюда:
\[ \varepsilon = 9 \]
Ответ:
\[ \boxed{ \varepsilon = 9 } \]
Диэлектрическая проницаемость вещества, которая делает емкости равными, равна 9.
