Давайте подробно разберем задачу и найдем диэлектрическую проницаемость вещества, которая обеспечивает равенство емкостей двух конденсаторов.
Дано:
Первый конденсатор:
- Обкладки: круглые пластины радиуса ( R )
- Расстояние между пластинами: ( d )
- Изолирующий материал: воздух (диэлектрическая проницаемость ( \varepsilon_0 ))
Второй конденсатор:
- Обкладки: радиус ( R/3 )
- Расстояние между пластинами: также ( d )
- Изолирующий материал: некоторое вещество, диэлектрическая проницаемость которого ( \varepsilon )
Цель:
Найти ( \varepsilon ), если емкости конденсаторов равны.
Шаг 1: Формула емкости плоского конденсатора
Для плоского конденсатора, с пластинами радиусов ( R_1 ) и ( R_2 ), заполненного диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ( \varepsilon_r ), емкость находят по формуле:
[
C = \varepsilon \frac{S}{d}
]
где:
- ( \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r ),
- ( S ) — площадь одной из пластин (предполагая, что пластины совпадают и образуют круг, поскольку у них одинаковый радиус),
- ( d ) — расстояние между пластинами.
Площадь пластины радиуса ( R ):
[
S = \pi R^2
]
Шаг 2: Записать емкости
Первый конденсатор:
[
C_1 = \varepsilon_0 \frac{\pi R^2}{d}
]
Второй конденсатор:
Площадь пластин радиуса ( R/3 ):
[
S_2 = \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \pi \frac{R^2}{9}
]
Эта пластина исполняет роль покрытия с диэлектриком, поэтому:
[
C_2 = \varepsilon_0 \varepsilon \frac{\pi R^2 / 9}{d}
]
Шаг 3: Условие равенства емкостей
Задача говорит, что ( C_1 = C_2 ):
[
\varepsilon_0 \frac{\pi R^2}{d} = \varepsilon_0 \varepsilon \frac{\pi R^2 / 9}{d}
]
Упростим обе части уравнения, сократив одинаковые множители ( \varepsilon_0 ), ( \pi R^2 ), ( d ):
[
1 = \varepsilon \frac{1}{9}
]
Отсюда:
[
\varepsilon = 9
]
Ответ:
[
\boxed{
\varepsilon = 9
}
]
Диэлектрическая проницаемость вещества, которая делает емкости равными, равна 9.
