На берегу реки расположена деревня. В 42   42 км от неё ниже по течению находится город. Ребята отправились из деревни в город на плоту. Через час после этого из города навстречу им вышел катер, собственная скорость которого составляет 12   12 км/ч. Найдите, через сколько часов после отплытия из деревни мальчики встретились с катером, если скорость течения реки равна 6   6 км/ч.

Давайте подробно решим задачу. **Дано:** - Расстояние между деревней и городом по течению — 42 км. - Скорость катера — 12 км/ч. - Скорость течения реки — 6 км/ч. - Ребята отправились из деревни в город на плоту. Время отправления — 0 часов. - Катер вышел из города через 1 час после начала пути ребят. - Катер движется навстречу ребятам. Нам нужно найти время, когда ребята и катер встретятся, начиная с момента отплытия ребят. --- ### Шаг 1: Определим, как движутся ребята и катер **Ребята:** - Передвигаются по реке на плоту со скоростью, равной скорости течения (так как на плоту движемся только по течению). - Скорость плота по воде — 6 км/ч (скорость течения). **Катер:** - Движется против течения со скоростью 12 км/ч относительно воды. - **Реальная скорость катера относительно берега:** \( V_{катер} = 12\, \text{км/ч} + 6\, \text{км/ч} = 18\, \text{км/ч} \), потому что он движется навстречу течению (против течения реки). --- ### Шаг 2: Расчет времени и расстояния Обозначим: - \( t \) — общее время с момента отправления ребят до встречи (часы). - Ребята стартовали в \( t=0 \). - Катер начал двигаться из города через 1 час после начала пути ребят, то есть в момент \( t=1 \). **Движение ребят:** - За \( t \) часов они проходят расстояние: \[ S_{ребят} = 6t \] Обратите внимание, что это расстояние по течению. **Движение катера:** - Катер начал двигаться в момент \( t=1 \). - Таким образом, за время \( t' = t - 1 \) часов (если \( t \ge 1 \)), он прошел расстояние: \[ S_{катера} = 18(t - 1) \] Но поскольку катер начал свой путь с города (на расстоянии 42 км от деревни), то он будет двигаться из города навстречу ребятам. --- ### Шаг 3: Уравнение для встречи Место встречи — точка, где расстояние, пройденное ребятами, равно расстоянию, пройденному катером с учетом начальной дистанции между ними. Общее расстояние между ними — 42 км. Через \( t \) часов: - Ребята прошли \( 6t \) км от деревни. - Катер прошел \( 18(t - 1) \) км из города, который находится в 42 км от деревни. Поскольку катер идет навстречу ребятам, расстояние между ними в момент встречи: \[ 42 - \left(6t + 18(t - 1)\right) = 0 \] Объяснение: сумма пройденных расстояний ребят и катера равна расстоянию между ними. --- ### Шаг 4: Решение уравнения Раскроем скобки: \[ 42 - \left(6t + 18t - 18\right) = 0 \] \( 6t + 18t = 24t \) Итак, \[ 42 - (24t - 18) = 0 \] Добавим \( 18 \) в обе части: \[ 42 + 18 - 24t = 0 \] \[ 60 - 24t = 0 \] Решим относительно \( t \): \[ 24t = 60 \] \[ t = \frac{60}{24} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ часа} \] --- ### **Ответ:** Мальчики встретились с катером через **2.5 часа** после отплытия из деревни. --- Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение, я всегда помогу!