На берегу реки расположена деревня. В 42 42 км от неё ниже по течению находится город. Ребята отправились из деревни в город на плоту. Через час после этого из города навстречу им…
На берегу реки расположена деревня. В 42 42 км от неё ниже по течению находится город. Ребята отправились из деревни в город на плоту. Через час после этого из города навстречу им вышел катер, собственная скорость которого составляет 12 12 км/ч. Найдите, через сколько часов после отплытия из деревни мальчики встретились с катером, если скорость течения реки равна 6 6 км/ч.
Давайте подробно решим задачу.
Дано:
- Расстояние между деревней и городом по течению — 42 км.
- Скорость катера — 12 км/ч.
- Скорость течения реки — 6 км/ч.
- Ребята отправились из деревни в город на плоту. Время отправления — 0 часов.
- Катер вышел из города через 1 час после начала пути ребят.
- Катер движется навстречу ребятам.
Нам нужно найти время, когда ребята и катер встретятся, начиная с момента отплытия ребят.
Шаг 1: Определим, как движутся ребята и катер
Ребята:
- Передвигаются по реке на плоту со скоростью, равной скорости течения (так как на плоту движемся только по течению).
- Скорость плота по воде — 6 км/ч (скорость течения).
Катер:
Движется против течения со скоростью 12 км/ч относительно воды.
Реальная скорость катера относительно берега:
\( V_{катер} = 12\, \text{км/ч} + 6\, \text{км/ч} = 18\, \text{км/ч} \),
потому что он движется навстречу течению (против течения реки).
Шаг 2: Расчет времени и расстояния
Обозначим:
- \( t \) — общее время с момента отправления ребят до встречи (часы).
- Ребята стартовали в \( t=0 \).
- Катер начал двигаться из города через 1 час после начала пути ребят, то есть в момент \( t=1 \).
Движение ребят:
За \( t \) часов они проходят расстояние:
\[ S_{ребят} = 6t \]
Обратите внимание, что это расстояние по течению.
Движение катера:
Катер начал двигаться в момент \( t=1 \).
Таким образом, за время \( t' = t - 1 \) часов (если \( t \ge 1 \)), он прошел расстояние:
\[ S_{катера} = 18(t - 1) \]
Но поскольку катер начал свой путь с города (на расстоянии 42 км от деревни), то он будет двигаться из города навстречу ребятам.
Шаг 3: Уравнение для встречи
Место встречи — точка, где расстояние, пройденное ребятами, равно расстоянию, пройденному катером с учетом начальной дистанции между ними.
Общее расстояние между ними — 42 км.
Через \( t \) часов:
- Ребята прошли \( 6t \) км от деревни.
- Катер прошел \( 18(t - 1) \) км из города, который находится в 42 км от деревни.
Поскольку катер идет навстречу ребятам, расстояние между ними в момент встречи:
\[ 42 - \left(6t + 18(t - 1)\right) = 0 \]
Объяснение: сумма пройденных расстояний ребят и катера равна расстоянию между ними.
Шаг 4: Решение уравнения
Раскроем скобки:
\[ 42 - \left(6t + 18t - 18\right) = 0 \]
\( 6t + 18t = 24t \)
Итак,
\[ 42 - (24t - 18) = 0 \]
Добавим \( 18 \) в обе части:
\[ 42 + 18 - 24t = 0 \]
\[ 60 - 24t = 0 \]
Решим относительно \( t \):
\[ 24t = 60 \]
\[ t = \frac{60}{24} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ часа} \]
Ответ:
Мальчики встретились с катером через 2.5 часа после отплытия из деревни.
Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение, я всегда помогу!
