(2х-9) ²=(4х-3) ³
Рассмотрим задачу:
\[(2x - 9)^2 = (4x - 3)^3\]
Цель — понять, как решить уравнение, поэтому я расскажу подробно и пошагово.
Шаг 1. Раскроем левую сторону уравнения — квадратом выражения \( (2x - 9)^2 \).
По формуле \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\): \[ (2x - 9)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 9 + 9^2 = 4x^2 - 36x + 81 \]
Шаг 2. Раскроем правую сторону — кубом \((4x - 3)^3\).
По формуле разложения куба:
\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
Здесь \(a = 4x\), \(b = 3\):
\[ (4x - 3)^3 = (4x)^3 - 3 \cdot (4x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 4x \cdot 3^2 - 3^3 \]
Рассчитаем по частям:
- \((4x)^3 = 64x^3\)
- \(3 \cdot (4x)^2 \cdot 3 = 3 \cdot 16x^2 \cdot 3 = 3 \cdot 16x^2 \cdot 3 = 144x^2\)
- \(3 \cdot 4x \cdot 9 = 3 \cdot 4x \cdot 9 = 108x\)
- \(3^3 = 27\)
Итак,
\[ (4x - 3)^3 = 64x^3 - 144x^2 + 108x - 27 \]
Шаг 3. Запишем преобразованное уравнение:
\[ 4x^2 - 36x + 81 = 64x^3 - 144x^2 + 108x - 27 \]
Перенесем все в левую сторону для уравнивания к нулю:
\[ 4x^2 - 36x + 81 - 64x^3 + 144x^2 - 108x + 27 = 0 \]
Объединим подобные члены:
\[ -64x^3 + (4x^2 + 144x^2) + (-36x - 108x) + (81 + 27) = 0 \]
\[ -64x^3 + 148x^2 - 144x + 108 = 0 \]
Для удобства можно домножить уравнение на -1, чтобы коэффициент перед \(x^3\) стал положительным:
\[ 64x^3 - 148x^2 + 144x - 108 = 0 \]
Шаг 4. Решите кубическое уравнение.
Это сложное уравнение, попробуем найти rational roots по теореме рациональных корней:
Делители свободного члена 108: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36, \pm 54, \pm 108 \).
Делители старшего коэффициента 64: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64 \).
Рассмотрим возможные рациональные корни по формуле \( \pm \frac{\text{делитель свободного члена}}{\text{делитель старшего коэффициента}} \).
Попробуем, например, \(x=1\):
\[ 64(1)^3 - 148(1)^2 + 144(1) - 108 = 64 - 148 + 144 - 108 = (64 + 144) - (148 + 108) = 208 - 256 = -48 \neq 0 \]
Пробуем \(x=2\):
\[ 64 \cdot 8 - 148 \cdot 4 + 144 \cdot 2 - 108 = 512 - 592 + 288 - 108 = (512 + 288) - (592 + 108) = 800 - 700 = 100 \neq 0 \]
Пробуем \(x=3\):
\[ 64 \cdot 27 - 148 \cdot 9 + 144 \cdot 3 - 108 = 1728 - 1332 + 432 - 108 = (1728 + 432) - (1332 + 108) = 2160 - 1440 = 720 \neq 0 \]
Пробуем \(x=\frac{1}{2}\):
\[ 64 \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 148 \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 144 \left(\frac{1}{2}\right) - 108 \]
\[ 64 \cdot \frac{1}{8} - 148 \cdot \frac{1}{4} + 144 \cdot \frac{1}{2} - 108 = 8 - 37 + 72 - 108 = (8 + 72) - (37 + 108) = 80 - 145 = -65 \neq 0 \]
Дальше можно попробовать \(x = \frac{3}{4}\), \(x= \frac{1}{4}\), и так далее, либо прибегнуть к числовым методам или аналитическому решению.
Шаг 5. Общий подход — использовать численные методы или график.
Так как уравнение трудно решить аналитически, можно построить график функции:
\[ f(x) = 64x^3 - 148x^2 + 144x - 108 \] и найти точки пересечения с осью \(x\).
Итог:
- Решение этого уравнения аналитически — сложное.
- Можно воспользоваться графиком или численными методами (например, методом Ньютона) для поиска приближённых корней.
- В общем, решение уравнения сводится к нахождению корней кубического уравнения:
\[ 64x^3 - 148x^2 + 144x - 108 = 0 \]
и проверке, являются ли эти корни действительными и подходят ли они под исходное уравнение.
Если нужны примерные численные решения или помощь с построением графика — скажите!
