Окружности радиуса 10см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 5см от центра.Найдите радиус второй окружности,которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности.Решение расписать подробно

Давайте подробно разберём задачу и шаг за шагом потренируемся в решении. **Дано:** - Радиус первой окружности \( R = 10 \) см. - На этой окружности проведён диаметр, то есть точка \( D \) на окружности, противоположная точке \( C \), где \( C \) — центр окружности. - На диаметре взята точка \( A \), которая от центра \( C \) находится на расстоянии 5 см, то есть \( A \) — точка на диаметре, в 5 см от центра. - Требуется найти радиус второй окружности, которая: 1. касается первой окружности изнутри. 2. касается диаметра в точке \( A \). --- ### Шаг 1. Уясним положение точек - Центр первой окружности: \( C \). - Радиус первой окружности: \( R = 10 \) см. - Диаметр: линия, проходящая через \( C \) и точку \( D \) на окружности. - Точка \( A \) лежит на диаметре, и от центра \( C \) она расположена на расстоянии \( AC = 5 \) см. Пусть координаты центра \( C = (0,0) \). Тогда, поскольку \( A \) лежит на диаметре, её координаты можно принять как: \[ A = (5,0) \] Точка \( D \), которая противоположна \( A \) по диаметру, имеет координаты: \[ D = (-10,0) \] потому что радиус равен 10, и она лежит на той же линии в противоположной стороне. --- ### Шаг 2. Уясним свойства второй окружности Обозначим радиус искомой окружности как \( r \). Эта вторая окружность: - касается первого окружности внутри, то есть она касается внутри \( R = 10 \) см. - касается диаметра в точке \( A \). Поскольку вторая окружность касается диаметра у точки \( A \), то центр второй окружности должен находиться на линии, проходящей через \( A \) и быть перпендикулярной диаметру. Пусть \( O \) — центр второй окружности, радиус этого окружности — \( r \), и она касается диаметра в точке \( A \). Тогда: \[ OA = r \] Но чтобы окружность касалась по точке \( A \), центр окружности \( O \) должен находиться на линии, перпендикулярной диаметру в \( A \), и на расстоянии \( r \) от \( A \). Поскольку касание в точке \( A \): \[ \textbf{Расстояние от центра до точки касания} = r \] --- ### Шаг 3. Расположение центра второй окружности Центр второй окружности \( O \) лежит **на перпендикулярной к диаметру линии**, проходящей через \( A \). Наиболее удобно считать, что центр \( O \) находится на вертикальной линии, если диаметр лежит по оси \( x \), то есть: \[ A = (5, 0) \] Тогда, поскольку касание и радиус совпадают по расстоянию, центр окружности \( O \) лежит на вертикальной линии, проходящей через \( A \): \[ x = 5 \] Обозначим координаты центра \( O = (5, y) \). Расстояние между \( O \) и \( A \): \[ |A O| = \sqrt{(5 - 5)^2 + (0 - y)^2} = |y| \] Так как окружность касается в точке \( A \), то: \[ |A O| = r \] Следовательно, \[ r = |y| \] Поскольку точка касания — \( A \), то написание не вызывает сомнений. --- ### Шаг 4. Условие касания внутренней окружности Другая окружность касается первой внутри, то есть расстояние между их центрами равно разнице их радиусов: \[ |C O| = R - r = 10 - r \] Где \( C = (0, 0) \), а \( O = (5, y) \), тогда: \[ |C O| = \sqrt{(5 - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{25 + y^2} \] Таким образом, условие внутреннего касания: \[ \sqrt{25 + y^2} = 10 - r \] Но так как \( r = |y| \): \[ \sqrt{25 + y^2} = 10 - |y| \] --- ### Шаг 5. Решение уравнения Рассмотрим оба варианта для \( y \): 1. \( y \ge 0 \Rightarrow |y| = y \) Тогда: \[ \sqrt{25 + y^2} = 10 - y \] Возьмём в итоге квадрат обеих частей: \[ 25 + y^2 = (10 - y)^2 \] \[ 25 + y^2 = 100 - 20 y + y^2 \] Вычитаем \( y^2 \) с обеих сторон: \[ 25 = 100 - 20 y \] Переносим: \[ 20 y = 100 - 25 = 75 \] \[ y = \frac{75}{20} = 3,75 \] Так как \( y \ge 0 \), это подходит. Теперь найдём радиус \( r \): \[ r = |y| = 3,75 \text{ см} \] ### 2. \( y < 0 \Rightarrow |y| = - y \) Тогда уравнение станет: \[ \sqrt{25 + y^2} = 10 + y \] Обратимся к тому, что \( y < 0 \), значит \( 10 + y < 10 \), и чтобы обе стороны были равны, потребуется проверка. Квадрат обеих частей: \[ 25 + y^2 = (10 + y)^2 = 100 + 20 y + y^2 \] Вычитая \( y^2 \): \[ 25 = 100 + 20 y \] \[ 20 y = 25 - 100 = -75 \] \[ y = -\frac{75}{20} = -3,75 \] Это тоже подходит. Тогда радиус: \[ r = |y| = 3,75 \text{ см} \] --- ### **Ответ:** **Радиус второй окружности:** \[ \boxed{ r = 3,75 \text{ см} } \]