окружности радиуса 10см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 5см от центра.Найдите радиус второй окружности,которая касается диаметра в точке А и изнутри касается…
Окружности радиуса 10см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 5см от центра.Найдите радиус второй окружности,которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности.Решение расписать подробно
Давайте подробно разберём задачу и шаг за шагом потренируемся в решении.
Дано:
- Радиус первой окружности \( R = 10 \) см.
- На этой окружности проведён диаметр, то есть точка \( D \) на окружности, противоположная точке \( C \), где \( C \) — центр окружности.
- На диаметре взята точка \( A \), которая от центра \( C \) находится на расстоянии 5 см, то есть \( A \) — точка на диаметре, в 5 см от центра.
- Требуется найти радиус второй окружности, которая:
- касается первой окружности изнутри.
- касается диаметра в точке \( A \).
Шаг 1. Уясним положение точек
- Центр первой окружности: \( C \).
- Радиус первой окружности: \( R = 10 \) см.
- Диаметр: линия, проходящая через \( C \) и точку \( D \) на окружности.
- Точка \( A \) лежит на диаметре, и от центра \( C \) она расположена на расстоянии \( AC = 5 \) см.
Пусть координаты центра \( C = (0,0) \). Тогда, поскольку \( A \) лежит на диаметре, её координаты можно принять как:
\[ A = (5,0) \]
Точка \( D \), которая противоположна \( A \) по диаметру, имеет координаты:
\[ D = (-10,0) \]
потому что радиус равен 10, и она лежит на той же линии в противоположной стороне.
Шаг 2. Уясним свойства второй окружности
Обозначим радиус искомой окружности как \( r \).
Эта вторая окружность:
- касается первого окружности внутри, то есть она касается внутри \( R = 10 \) см.
- касается диаметра в точке \( A \).
Поскольку вторая окружность касается диаметра у точки \( A \), то центр второй окружности должен находиться на линии, проходящей через \( A \) и быть перпендикулярной диаметру.
Пусть \( O \) — центр второй окружности, радиус этого окружности — \( r \), и она касается диаметра в точке \( A \). Тогда:
\[ OA = r \]
Но чтобы окружность касалась по точке \( A \), центр окружности \( O \) должен находиться на линии, перпендикулярной диаметру в \( A \), и на расстоянии \( r \) от \( A \).
Поскольку касание в точке \( A \):
\[ \textbf{Расстояние от центра до точки касания} = r \]
Шаг 3. Расположение центра второй окружности
Центр второй окружности \( O \) лежит на перпендикулярной к диаметру линии, проходящей через \( A \).
Наиболее удобно считать, что центр \( O \) находится на вертикальной линии, если диаметр лежит по оси \( x \), то есть:
\[ A = (5, 0) \]
Тогда, поскольку касание и радиус совпадают по расстоянию, центр окружности \( O \) лежит на вертикальной линии, проходящей через \( A \):
\[ x = 5 \]
Обозначим координаты центра \( O = (5, y) \). Расстояние между \( O \) и \( A \):
\[ |A O| = \sqrt{(5 - 5)^2 + (0 - y)^2} = |y| \]
Так как окружность касается в точке \( A \), то:
\[ |A O| = r \]
Следовательно,
\[ r = |y| \]
Поскольку точка касания — \( A \), то написание не вызывает сомнений.
Шаг 4. Условие касания внутренней окружности
Другая окружность касается первой внутри, то есть расстояние между их центрами равно разнице их радиусов:
\[ |C O| = R - r = 10 - r \]
Где \( C = (0, 0) \), а \( O = (5, y) \), тогда:
\[ |C O| = \sqrt{(5 - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{25 + y^2} \]
Таким образом, условие внутреннего касания:
\[ \sqrt{25 + y^2} = 10 - r \]
Но так как \( r = |y| \):
\[ \sqrt{25 + y^2} = 10 - |y| \]
Шаг 5. Решение уравнения
Рассмотрим оба варианта для \( y \):
- \( y \ge 0 \Rightarrow |y| = y \)
Тогда:
\[ \sqrt{25 + y^2} = 10 - y \]
Возьмём в итоге квадрат обеих частей:
\[ 25 + y^2 = (10 - y)^2 \] \[ 25 + y^2 = 100 - 20 y + y^2 \]
Вычитаем \( y^2 \) с обеих сторон:
\[ 25 = 100 - 20 y \]
Переносим:
\[ 20 y = 100 - 25 = 75 \]
\[ y = \frac{75}{20} = 3,75 \]
Так как \( y \ge 0 \), это подходит.
Теперь найдём радиус \( r \):
\[ r = |y| = 3,75 \text{ см} \]
2. \( y < 0 \Rightarrow |y| = - y \)
Тогда уравнение станет:
\[ \sqrt{25 + y^2} = 10 + y \]
Обратимся к тому, что \( y < 0 \), значит \( 10 + y < 10 \), и чтобы обе стороны были равны, потребуется проверка.
Квадрат обеих частей:
\[ 25 + y^2 = (10 + y)^2 = 100 + 20 y + y^2 \]
Вычитая \( y^2 \):
\[ 25 = 100 + 20 y \] \[ 20 y = 25 - 100 = -75 \] \[ y = -\frac{75}{20} = -3,75 \]
Это тоже подходит. Тогда радиус:
\[ r = |y| = 3,75 \text{ см} \]
Ответ:
Радиус второй окружности:
\[ \boxed{ r = 3,75 \text{ см} } \]
