упростите
Конечно! Вот подробное решение и упрощение каждого пункта:
1. Упростите \(\left(\frac{x^{-2} + 1}{1 - x^{-2}}\right)^{-1}\)
Шаг 1: Внутри скобок — упростим \(\frac{x^{-2} + 1}{1 - x^{-2}}\)
- Запишем \(x^{-2}\) как \(\frac{1}{x^{2}}\).
Тогда:
\[ \frac{\frac{1}{x^{2}} + 1}{1 - \frac{1}{x^{2}}} \]
Шаг 2: Приведем к общему знаменателю внутри числителя и знаменателя:
- числитель: \(\frac{1}{x^{2}} + 1 = \frac{1 + x^{2}}{x^{2}}\)
- знаменатель: \(1 - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\)
Шаг 3: Запишем дробь:
\[ \frac{\frac{1 + x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}} \]
Шаг 4: Деление дробей — multiply by обратную:
\[ \frac{1 + x^{2}}{x^{2}} \times \frac{x^{2}}{x^{2} - 1} = \frac{1 + x^{2}}{x^{2} - 1} \]
Шаг 5: Теперь учитываем внешний показатель \(-1\):
\[ \left(\frac{1 + x^{2}}{x^{2} - 1}\right)^{-1} = \frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}} \]
Ответ 1:
\(\boxed{\frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}}}\)
2. Упростите \(\frac{5^{n+1} + 5^{n}}{6^{n+1}} \cdot \frac{2^{n}}{30 - n}\), где \(n\) — целое число.
Шаг 1: Упростим числитель первой части:
\[ 5^{n+1} + 5^{n} \] Факторизуем \(5^{n}\):
\[ 5^{n}(5 + 1) = 5^{n} \times 6 \]
Шаг 2: Запишем всю дробь:
\[ \frac{5^{n} \times 6}{6^{n+1}} \times \frac{2^{n}}{30 - n} \]
Шаг 3: Упростим \(6^{n+1}\):
\[ 6^{n+1} = 6^{n} \times 6 \]
Тогда:
\[ \frac{6 \times 5^{n}}{6^{n} \times 6} = \frac{6 \times 5^{n}}{6 \times 6^{n}} = \frac{5^{n}}{6^{n}} \]
Шаг 4: Теперь оставшаяся часть:
\[ \frac{5^{n}}{6^{n}} \times \frac{2^{n}}{30 - n} \]
Это можно переписать как:
\[ \frac{5^{n} \times 2^{n}}{6^{n} \times (30 - n)} = \frac{(5 \times 2)^{n}}{6^{n} \times (30 - n)} = \frac{10^{n}}{6^{n} \times (30 - n)} \]
Шаг 5: Заметим, что \(6^{n} = (2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}\). Тогда:
\[ \frac{10^{n}}{2^{n} \times 3^{n} \times (30 - n)} = \frac{(2 \times 5)^{n}}{2^{n} \times 3^{n} \times (30 - n)} \] \[ = \frac{2^{n} \times 5^{n}}{2^{n} \times 3^{n} \times (30 - n)} \]
Отменяем \(2^{n}\):
\[ = \frac{5^{n}}{3^{n} \times (30 - n)} = \frac{\left(\frac{5}{3}\right)^{n}}{30 - n} \]
Ответ 2:
\[ \boxed{\frac{\left(\frac{5}{3}\right)^{n}}{30 - n}} \]
3. Упростите \(\left(b^{2} x^{-1} - (b + x)\right) \left( \frac{x}{b - x} \right)^{-1}\)
Шаг 1: Перепишем выражение:
\[ \left(b^{2} x^{-1} - (b + x)\right) \times \left(\frac{x}{b - x}\right)^{-1} \]
заменяем \(\left(\frac{x}{b - x}\right)^{-1}\):
\[ = \left(b^{2} x^{-1} - (b + x)\right) \times \frac{b - x}{x} \]
Шаг 2: Упростим первый многочлен:
в первом слагаемом \(b^{2} x^{-1} = \frac{b^{2}}{x}\).
второй слагаемый: \(-b - x\).
Запишем:
\[ \left(\frac{b^{2}}{x} - b - x \right) \times \frac{b - x}{x} \]
Шаг 3: Объединим в одну дробь внутри первого скобочного выражения:
\[ \frac{b^{2}}{x} - b - x \]
Находим общий знаменатель \(x\):
\[ \frac{b^{2}}{x} - \frac{b x}{x} - \frac{x^{2}}{x} = \frac{b^{2} - b x - x^{2}}{x} \]
Шаг 4: В итоге:
\[ \frac{b^{2} - b x - x^{2}}{x} \times \frac{b - x}{x} \]
Обнаружим, что это произведение двух дробей, которые можно перемножить:
\[ \frac{(b^{2} - b x - x^{2})(b - x)}{x \times x} = \frac{(b^{2} - b x - x^{2})(b - x)}{x^{2}} \]
Шаг 5: Раскроем скобки в числителе:
Обратим внимание, что:
\[ b^{2} - b x - x^{2} \]
может быть факторизуемо. Посмотрим:
Это квадратный трехчлен по \(b\):
\[ b^{2} - b x - x^{2} \]
используем факторизацию:
\[ b^{2} - b x - x^{2} = (b - x)(b + x) \]
потому что:
\[ (b - x)(b + x) = b^{2} - x^{2} \]
не равно \(b^{2} - b x - x^{2}\), но, по факту, попробуем более аккуратно:
Проверка:
Раскроем \((b - x)(b + x)\):
\[ b^{2} - x^{2} \]
Это отличается от исходного \(b^{2} - b x - x^{2}\). Тогда попробуем найти корни этого трехчлена:
\[ b^{2} - b x - x^{2} = 0 \]
- для решения по \(b\):
\[ b^{2} - b x - x^{2} = 0 \]
- дискриминант:
\[ D = x^{2} - 4 \times 1 \times (-x^{2}) = x^{2} + 4 x^{2} = 5 x^{2} \]
- корни:
\[ b = \frac{b x \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{x \pm \sqrt{5} x}{2} = \frac{x(1 \pm \sqrt{5})}{2} \]
Но это усложнение, лучше оставить исходный вид — без факторизации, потому что оно не дает простого сокращения.
Итог:
Числитель — это \((b^{2} - b x - x^{2})(b - x)\),
поэтому выражение:
[ \frac{(b^{2} - b x - x^{2})(b - x)}{x^{2
