Упростите

Конечно! Вот подробное решение и упрощение каждого пункта: --- ### 1. Упростите \(\left(\frac{x^{-2} + 1}{1 - x^{-2}}\right)^{-1}\) **Шаг 1:** Внутри скобок — упростим \(\frac{x^{-2} + 1}{1 - x^{-2}}\) - Запишем \(x^{-2}\) как \(\frac{1}{x^{2}}\). Тогда: \[ \frac{\frac{1}{x^{2}} + 1}{1 - \frac{1}{x^{2}}} \] **Шаг 2:** Приведем к общему знаменателю внутри числителя и знаменателя: - числитель: \(\frac{1}{x^{2}} + 1 = \frac{1 + x^{2}}{x^{2}}\) - знаменатель: \(1 - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\) **Шаг 3:** Запишем дробь: \[ \frac{\frac{1 + x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}} \] **Шаг 4:** Деление дробей — multiply by обратную: \[ \frac{1 + x^{2}}{x^{2}} \times \frac{x^{2}}{x^{2} - 1} = \frac{1 + x^{2}}{x^{2} - 1} \] **Шаг 5:** Теперь учитываем внешний показатель \(-1\): \[ \left(\frac{1 + x^{2}}{x^{2} - 1}\right)^{-1} = \frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}} \] **Ответ 1:** \(\boxed{\frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}}}\) --- ### 2. Упростите \(\frac{5^{n+1} + 5^{n}}{6^{n+1}} \cdot \frac{2^{n}}{30 - n}\), где \(n\) — целое число. **Шаг 1:** Упростим числитель первой части: \[ 5^{n+1} + 5^{n} \] Факторизуем \(5^{n}\): \[ 5^{n}(5 + 1) = 5^{n} \times 6 \] **Шаг 2:** Запишем всю дробь: \[ \frac{5^{n} \times 6}{6^{n+1}} \times \frac{2^{n}}{30 - n} \] **Шаг 3:** Упростим \(6^{n+1}\): \[ 6^{n+1} = 6^{n} \times 6 \] Тогда: \[ \frac{6 \times 5^{n}}{6^{n} \times 6} = \frac{6 \times 5^{n}}{6 \times 6^{n}} = \frac{5^{n}}{6^{n}} \] **Шаг 4:** Теперь оставшаяся часть: \[ \frac{5^{n}}{6^{n}} \times \frac{2^{n}}{30 - n} \] Это можно переписать как: \[ \frac{5^{n} \times 2^{n}}{6^{n} \times (30 - n)} = \frac{(5 \times 2)^{n}}{6^{n} \times (30 - n)} = \frac{10^{n}}{6^{n} \times (30 - n)} \] **Шаг 5:** Заметим, что \(6^{n} = (2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}\). Тогда: \[ \frac{10^{n}}{2^{n} \times 3^{n} \times (30 - n)} = \frac{(2 \times 5)^{n}}{2^{n} \times 3^{n} \times (30 - n)} \] \[ = \frac{2^{n} \times 5^{n}}{2^{n} \times 3^{n} \times (30 - n)} \] Отменяем \(2^{n}\): \[ = \frac{5^{n}}{3^{n} \times (30 - n)} = \frac{\left(\frac{5}{3}\right)^{n}}{30 - n} \] **Ответ 2:** \[ \boxed{\frac{\left(\frac{5}{3}\right)^{n}}{30 - n}} \] --- ### 3. Упростите \(\left(b^{2} x^{-1} - (b + x)\right) \left( \frac{x}{b - x} \right)^{-1}\) **Шаг 1:** Перепишем выражение: \[ \left(b^{2} x^{-1} - (b + x)\right) \times \left(\frac{x}{b - x}\right)^{-1} \] заменяем \(\left(\frac{x}{b - x}\right)^{-1}\): \[ = \left(b^{2} x^{-1} - (b + x)\right) \times \frac{b - x}{x} \] **Шаг 2:** Упростим первый многочлен: - в первом слагаемом \(b^{2} x^{-1} = \frac{b^{2}}{x}\). - второй слагаемый: \(-b - x\). Запишем: \[ \left(\frac{b^{2}}{x} - b - x \right) \times \frac{b - x}{x} \] **Шаг 3:** Объединим в одну дробь внутри первого скобочного выражения: \[ \frac{b^{2}}{x} - b - x \] Находим общий знаменатель \(x\): \[ \frac{b^{2}}{x} - \frac{b x}{x} - \frac{x^{2}}{x} = \frac{b^{2} - b x - x^{2}}{x} \] **Шаг 4:** В итоге: \[ \frac{b^{2} - b x - x^{2}}{x} \times \frac{b - x}{x} \] Обнаружим, что это произведение двух дробей, которые можно перемножить: \[ \frac{(b^{2} - b x - x^{2})(b - x)}{x \times x} = \frac{(b^{2} - b x - x^{2})(b - x)}{x^{2}} \] **Шаг 5:** Раскроем скобки в числителе: Обратим внимание, что: \[ b^{2} - b x - x^{2} \] может быть факторизуемо. Посмотрим: Это квадратный трехчлен по \(b\): \[ b^{2} - b x - x^{2} \] используем факторизацию: \[ b^{2} - b x - x^{2} = (b - x)(b + x) \] потому что: \[ (b - x)(b + x) = b^{2} - x^{2} \] не равно \(b^{2} - b x - x^{2}\), но, по факту, попробуем более аккуратно: --- **Проверка:** Раскроем \((b - x)(b + x)\): \[ b^{2} - x^{2} \] Это отличается от исходного \(b^{2} - b x - x^{2}\). Тогда попробуем найти корни этого трехчлена: \[ b^{2} - b x - x^{2} = 0 \] - для решения по \(b\): \[ b^{2} - b x - x^{2} = 0 \] - дискриминант: \[ D = x^{2} - 4 \times 1 \times (-x^{2}) = x^{2} + 4 x^{2} = 5 x^{2} \] - корни: \[ b = \frac{b x \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{x \pm \sqrt{5} x}{2} = \frac{x(1 \pm \sqrt{5})}{2} \] Но это усложнение, лучше оставить исходный вид — без факторизации, потому что оно не дает простого сокращения. --- **Итог:** Числитель — это \((b^{2} - b x - x^{2})(b - x)\), поэтому выражение: \[ \frac{(b^{2} - b x - x^{2})(b - x)}{x^{2