В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом c вписана окружность радиуса 2 см. известно, что сумма катетов равна 17 см. найдите ab. найдите площадь треугольника abc.

Давайте решим задачу шаг за шагом с детальными объяснениями. ### Дано: - В прямоугольном треугольнике \( ABC \) угол \( C \) — прямой. - Вписанная окружность радиуса \( r = 2 \) см. - Сумма катетов: \( a + b = 17 \) см. - Нужно найти \( ab \) и площадь треугольника. --- ### Шаг 1. Обозначения Обозначим: - \( a = BC \) - \( b = AC \) - \( c = AB \), гипотенуза. Так как треугольник прямой, то: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] и так как угол \( C \) — прямой. --- ### Шаг 2. Связь радиуса вписанной окружности с треугольником Формула радиуса вписанной окружности для прямоугольного треугольника: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] Поскольку \( r = 2 \) см по условию, то: \[ 2 = \frac{a + b - c}{2} \Rightarrow a + b - c = 4 \] Также известно, что \( a + b = 17 \), подставим это: \[ 17 - c = 4 \Rightarrow c = 17 - 4 = 13 \] Итак, гипотенуза \( c = 13 \) см. --- ### Шаг 3. Находим \( a \) и \( b \) Из гипотезы: \[ a + b = 17 \] и из теоремы Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 = 13^2 = 169 \] Пусть \( a + b = 17 \), тогда \( b = 17 - a \). Подставим в выражение для суммы квадратов: \[ a^2 + (17 - a)^2 = 169 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (289 - 34a + a^2) = 169 \] Объединим: \[ a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169 \] \[ 2a^2 - 34a + 289 = 169 \] Упростим: \[ 2a^2 - 34a + 120 = 0 \] Разделим всё на 2: \[ a^2 - 17a + 60 = 0 \] --- ### Шаг 4. Решение квадратного уравнения Решим уравнение: \[ a^2 - 17a + 60 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = 17^2 - 4 \times 1 \times 60 = 289 - 240 = 49 \] Корни: \[ a = \frac{17 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{17 \pm 7}{2} \] Получаем две возможных решения: - \( a = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) - \( a = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) Тогда \( b = 17 - a \): - если \( a = 12 \), то \( b = 5 \), - если \( a = 5 \), то \( b = 12 \). В конкретном случае, так как \( a \) и \( b \) — катеты, их можно поменять местами. Итоговые значения: \[ a = 12 \text{ см}, \quad b = 5 \text{ см} \] или наоборот, что не меняет площадь. --- ### Шаг 5. Найти площадь треугольника \( ABC \) Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \] Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30 \text{ см}^2 \] --- ### Итог: - **Катеты:** \( a = 12 \text{ см} \), \( b = 5 \text{ см} \) (или наоборот). - **Произведение катетов:** \[ ab = 12 \times 5 = 60 \text{ см}^2 \] - **Площадь треугольника:** \( \boxed{30 \text{ см}^2} \). Если нужно, я готова помочь с любыми уточнениями!