Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое её элемент, чтобы понять, как найти скорость перемещения изображения муравья.
Дано:
- Расстояние муравья от линзы: ( d = 14,см )
- Скорость муравья: ( v = 2{,}3,см/с )
- Фокусное расстояние линзы: ( F = 2,см )
Требуется:
Найти скорость перемещения изображения муравья: ( v_{img} ).
Шаг 1: Определение оптической схемы и формулы
Линия в задаче говорит о том, что муравей находится на расстоянии ( d ) от линзы, и у нас есть изображение этого муравья.
Для решения используется формула линзы:
[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}
]
где:
- ( d_o ) — расстояние от объекта (муравья) до линзы,
- ( d_i ) — расстояние от изображения до линзы,
- ( f = F = 2,см ) — фокусное расстояние.
Обратите внимание:
- если муравей слева от линзы, то ( d_o > 0 ),
- изображение образуется справа, следовательно, ( d_i > 0 ) (для истинного этого изображения).
Поскольку муравей движется со стороны наблюдателя, который наблюдает его через линзу, мы будем считать, что ( d_o = 14,см ).
Шаг 2: Нахождение положения изображения ( d_i )
Из формулы линзы:
[
\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o}
]
Подставляем значения:
[
\frac{1}{d_i} = \frac{1}{2} - \frac{1}{14}
]
Находим общие значения:
[
\frac{1}{d_i} = \frac{7}{14} - \frac{1}{14} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}
]
Следовательно:
[
d_i = \frac{7}{3},\text{см} \approx 2,33,см
]
Это — текущая позиция изображения.
Шаг 3: Найти связь между изменениями ( d_o ) и ( d_i )
Теперь нужно найти, как движется изображение при движении объекта. Для этого дифференцируем формулу:
[
\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o}
]
Дифференцируем по времени ( t ):
[
- \frac{1}{d_i^2} \frac{d d_i}{d t} = - \frac{1}{d_o^2} \frac{d d_o}{d t}
]
или:
[
\frac{1}{d_i^2} v_{img} = \frac{1}{d_o^2} v
]
где:
- ( v_{img} = \frac{d d_i}{dt} ),
- ( v = \frac{d d_o}{dt} = 2,3,см/с ).
Шаг 4: Вычисление скорости изображения ( v_{img} )
Подставляем числовые значения:
[
v_{img} = v \times \frac{d_i^2}{d_o^2}
]
Подставляем порядковые значения:
[
d_o = 14,см,\quad d_i \approx 2,!33,см
]
Вычислим:
[
\frac{d_i^2}{d_o^2} = \left(\frac{2.33}{14}\right)^2 \approx \left(0.166\right)^2 \approx 0.0276
]
Теперь:
[
v_{img} = 2.3,см/с \times 0.0276 \approx 0.063,см/с
]
Ответ:
Скорость перемещения изображения муравья составляет примерно (\boxed{0,063,см/с}).
Это очень медленное перемещение, связанное с тем, что изображение "ближе" к линзе и движется медленнее объекта.
