Муравей ползёт вдоль главной оптической оси линзы на расстоянии d=14 см от неё со скоростью v= 2,3 см/с. С другой стороны линзы наблюдается его изображение. С какой скоростью…

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое её элемент, чтобы понять, как найти скорость перемещения изображения муравья.

Дано:

• Расстояние муравья от линзы: \( d = 14\,см \)
• Скорость муравья: \( v = 2{,}3\,см/с \)
• Фокусное расстояние линзы: \( F = 2\,см \)

Требуется:

Найти скорость перемещения изображения муравья: \( v_{img} \).

---

Шаг 1: Определение оптической схемы и формулы

Линия в задаче говорит о том, что муравей находится на расстоянии \( d \) от линзы, и у нас есть изображение этого муравья.
Для решения используется формула линзы:

\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} \]

где:

• \( d_o \) — расстояние от объекта (муравья) до линзы,
• \( d_i \) — расстояние от изображения до линзы,
• \( f = F = 2\,см \) — фокусное расстояние.

Обратите внимание:

• если муравей слева от линзы, то \( d_o > 0 \),
• изображение образуется справа, следовательно, \( d_i > 0 \) (для истинного этого изображения).

Поскольку муравей движется со стороны наблюдателя, который наблюдает его через линзу, мы будем считать, что \( d_o = 14\,см \).

---

Шаг 2: Нахождение положения изображения \( d_i \)

Из формулы линзы:

\[ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o} \]

Подставляем значения:

\[ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{2} - \frac{1}{14} \]

Находим общие значения:

\[ \frac{1}{d_i} = \frac{7}{14} - \frac{1}{14} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \]

Следовательно:

\[ d_i = \frac{7}{3}\,\text{см} \approx 2,33\,см \]

Это — текущая позиция изображения.

---

Шаг 3: Найти связь между изменениями \( d_o \) и \( d_i \)

Теперь нужно найти, как движется изображение при движении объекта. Для этого дифференцируем формулу:

\[ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o} \]

Дифференцируем по времени \( t \):

\[ - \frac{1}{d_i^2} \frac{d d_i}{d t} = - \frac{1}{d_o^2} \frac{d d_o}{d t} \]

или:

\[ \frac{1}{d_i^2} v_{img} = \frac{1}{d_o^2} v \]

где:

• \( v_{img} = \frac{d d_i}{dt} \),
• \( v = \frac{d d_o}{dt} = 2,3\,см/с \).

---

Шаг 4: Вычисление скорости изображения \( v_{img} \)

Подставляем числовые значения:

\[ v_{img} = v \times \frac{d_i^2}{d_o^2} \]

Подставляем порядковые значения:

\[ d_o = 14\,см,\quad d_i \approx 2,\!33\,см \]

Вычислим:

\[ \frac{d_i^2}{d_o^2} = \left(\frac{2.33}{14}\right)^2 \approx \left(0.166\right)^2 \approx 0.0276 \]

Теперь:

\[ v_{img} = 2.3\,см/с \times 0.0276 \approx 0.063\,см/с \]

---

Ответ:

Скорость перемещения изображения муравья составляет примерно \(\boxed{0,063\,см/с}\).

Это очень медленное перемещение, связанное с тем, что изображение "ближе" к линзе и движется медленнее объекта.