Сопоставь

Давайте подробно разберём задачу и сопоставим системы уравнений с их характеристиками. **Общая идея:** - Решение систем уравнений зависит от их совместности и количества решений. - Варианты характеристик систем: 1. Может иметь бесконечно много решений — если уравнения совпадают или являются пропорциональными. 2. Может иметь только одно решение — если уравнения всё же пересекаются в одной точке. 3. Не иметь решений — если уравнения параллельны и не пересекаются. --- ### Первая система: \[ \begin{cases} -3y - 7x = 13 \\ 2x + 7y = 2 \end{cases} \] Это система с двумя уравнениями. Перепишем её в стандартном виде: - Первое уравнение: \(-7x - 3y = 13\) - Вторая: \(2x + 7y = 2\) Чтобы определить характер решений, попробуем исключить одну переменную. - Умножим первое уравнение на 7, а второе — на 3, чтобы сделать коэффициенты по \(y\) одинаковыми по абсолютной величине: \[ \begin{cases} -49x - 21y = 91 \\ 6x + 21y = 6 \end{cases} \] Теперь сложим уравнения: \[ (-49x + 6x) + (-21y + 21y) = 91 + 6 \] \[ -43x = 97 \Rightarrow x = -\frac{97}{43} \] Это единственное значение \(x\). Подставляем обратно в одно из уравнений для поиска \(y\): \[ 2x + 7y = 2 \Rightarrow 2 \times -\frac{97}{43} + 7y = 2 \] \[ -\frac{194}{43} + 7y = 2 \] Запишем \(2\) как \(\frac{86}{43}\): \[ 7y = \frac{86}{43} + \frac{194}{43} = \frac{280}{43} \Rightarrow y = \frac{280}{43} \div 7 = \frac{280}{43} \times \frac{1}{7} = \frac{280}{301}=\frac{40}{43} \] Итак, система имеет **единственное решение**, т.к. мы нашли конкретные \(x\) и \(y\). Это соответствует характеристике: **имеет единственное решение**, то есть характеристика 4. --- ### Вторая система: \[ \begin{cases} 2x + 3y - 17=0 \\ 4x + 6y - 12=0 \end{cases} \] Обратим внимание, что второе уравнение — это просто умножение первого уравнения на 2: \[ 2 \times (2x + 3y - 17) = 4x + 6y - 34 \] А у нас во втором уравнении: \[ 4x + 6y - 12 \] Видно, что левая часть второго уравнения совпадает с умножением первого, но свободный член отличается: \(-34\) вместо \(-12\). Это указывает, что уравнения параллельны и не имеют решений — они не пересекаются. Характеристика: **не имеют решений**, то есть 5. --- ### Третья система: \[ \begin{cases} 2x - 3y + 14=0 \\ 6x - 9y + 42=0 \end{cases} \] Разделим второе уравнение на 3: \[ (6x - 9y + 42)/3 = 2x - 3y + 14 = 0 \] Это то же самое уравнение, что и первое, то есть систему можно назвать совпадающей, она имеет **бесконечно много решений**. Характеристика: **имеет бесконечно много решений**, то есть 3. --- ### Итоги сопоставления: | система | характеристика по количеству решений | номер характеристике | |---|---|---| | 1 | Единственное решение | 4 | | 2 | Не имеет решений | 5 | | 3 | Бесконечно много решений | 3 | --- **Ответ:** - Первая — 4 - Вторая — 5 - Третья — 3