Сопоставь
Давайте подробно разберём задачу и сопоставим системы уравнений с их характеристиками.
Общая идея:
- Решение систем уравнений зависит от их совместности и количества решений.
- Варианты характеристик систем:
- Может иметь бесконечно много решений — если уравнения совпадают или являются пропорциональными.
- Может иметь только одно решение — если уравнения всё же пересекаются в одной точке.
- Не иметь решений — если уравнения параллельны и не пересекаются.
Первая система:
\[ \begin{cases} -3y - 7x = 13 \\ 2x + 7y = 2 \end{cases} \]
Это система с двумя уравнениями.
Перепишем её в стандартном виде:
- Первое уравнение: \(-7x - 3y = 13\)
- Вторая: \(2x + 7y = 2\)
Чтобы определить характер решений, попробуем исключить одну переменную.
- Умножим первое уравнение на 7, а второе — на 3, чтобы сделать коэффициенты по \(y\) одинаковыми по абсолютной величине:
\[ \begin{cases} -49x - 21y = 91 \\ 6x + 21y = 6 \end{cases} \]
Теперь сложим уравнения:
\[ (-49x + 6x) + (-21y + 21y) = 91 + 6 \]
\[ -43x = 97 \Rightarrow x = -\frac{97}{43} \]
Это единственное значение \(x\). Подставляем обратно в одно из уравнений для поиска \(y\):
\[ 2x + 7y = 2 \Rightarrow 2 \times -\frac{97}{43} + 7y = 2 \]
\[ -\frac{194}{43} + 7y = 2 \]
Запишем \(2\) как \(\frac{86}{43}\):
\[ 7y = \frac{86}{43} + \frac{194}{43} = \frac{280}{43} \Rightarrow y = \frac{280}{43} \div 7 = \frac{280}{43} \times \frac{1}{7} = \frac{280}{301}=\frac{40}{43} \]
Итак, система имеет единственное решение, т.к. мы нашли конкретные \(x\) и \(y\).
Это соответствует характеристике: имеет единственное решение, то есть характеристика 4.
Вторая система:
\[ \begin{cases} 2x + 3y - 17=0 \\ 4x + 6y - 12=0 \end{cases} \]
Обратим внимание, что второе уравнение — это просто умножение первого уравнения на 2:
\[ 2 \times (2x + 3y - 17) = 4x + 6y - 34 \]
А у нас во втором уравнении:
\[ 4x + 6y - 12 \]
Видно, что левая часть второго уравнения совпадает с умножением первого, но свободный член отличается: \(-34\) вместо \(-12\).
Это указывает, что уравнения параллельны и не имеют решений — они не пересекаются.
Характеристика: не имеют решений, то есть 5.
Третья система:
\[ \begin{cases} 2x - 3y + 14=0 \\ 6x - 9y + 42=0 \end{cases} \]
Разделим второе уравнение на 3:
\[ (6x - 9y + 42)/3 = 2x - 3y + 14 = 0 \]
Это то же самое уравнение, что и первое, то есть систему можно назвать совпадающей, она имеет бесконечно много решений.
Характеристика: имеет бесконечно много решений, то есть 3.
Итоги сопоставления:
| система | характеристика по количеству решений | номер характеристике |
|---|---|---|
| 1 | Единственное решение | 4 |
| 2 | Не имеет решений | 5 |
| 3 | Бесконечно много решений | 3 |
Ответ:
- Первая — 4
- Вторая — 5
- Третья — 3
