Реши

Давайте решим систему уравнений по шагам.

Заданная система: \[ \begin{cases} \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{3} \\ x - 2y = 2 \end{cases} \]

Шаг 1. Выразим \(x\) из второго уравнения: \[ x = 2 + 2y \]

Шаг 2. Подставим выражение для \(x\) в первое уравнение: \[ \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{2 + 2y} = \dfrac{1}{3} \]

Шаг 3. Найдём общий знаменатель для левой части: \[ \dfrac{(2 + 2y) - y}{y (2 + 2y)} = \dfrac{1}{3} \]

Раскроем скобки в числителе: \[ (2 + 2y) - y = 2 + 2y - y = 2 + y \]

Общий знаменатель: \[ y (2 + 2y) = y \times 2(1 + y) = 2y(1 + y) \]

Теперь уравнение: \[ \dfrac{2 + y}{2 y (1 + y)} = \dfrac{1}{3} \]

Шаг 4. Перенесем всё на одну сторону и решим уравнение: \[ 3(2 + y) = 2 y (1 + y) \]

Раскроем скобки: \[ 6 + 3 y = 2 y + 2 y^2 \]

Перенесем все в левую часть: \[ 6 + 3 y - 2 y - 2 y^2 = 0 \]

Упростим: \[ 6 + y - 2 y^2 = 0 \]

или: \[ -2 y^2 + y + 6 = 0 \]

Домножим всё на \(-1\), чтобы избавиться от отрицательного коэффициента при \(y^2\): \[ 2 y^2 - y - 6 = 0 \]

Шаг 5. Решим полученное квадратное уравнение: \[ 2 y^2 - y - 6 = 0 \]

Формула для корней: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=2\), \(b=-1\), \(c=-6\).

Подставим: \[ y = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 2 \times (-6)}}{2 \times 2} \] \[ y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} \] \[ y = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{4} \] \[ y = \frac{1 \pm 7}{4} \]

Два решения:

• \( y = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)
• \( y = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \)

Шаг 6. Теперь найдём \(x\) для каждого значения \(y\):

Для \(y=2\): \[ x = 2 + 2 \times 2 = 2 + 4 = 6 \]

Для \(y=-\frac{3}{2}\): \[ x = 2 + 2 \times \left(-\frac{3}{2}\right) = 2 - 3 = -1 \]

ИТОГ: решения системы: \[ \boxed{ \begin{cases} x=6, \quad y=2 \\ x=-1, \quad y=-\frac{3}{2} \end{cases} } \]

Если нужны дополнительные объяснения – обращайтесь!