Реши
Дано систему уравнений: \[ \begin{cases} 3x^2 - 2y = 1 \quad (1) \\ 2x^2 - y^2 = 1 \quad (2) \end{cases} \]
Цель — найти решения для переменных \(x\) и \(y\).
Шаг 1. Выразим \(y\) через уравнение (1):
Из уравнения (1): \[ 3x^2 - 2y = 1 \implies 2y = 3x^2 - 1 \implies y = \frac{3x^2 - 1}{2} \]
Шаг 2. Подставим выражение для \(y\) в уравнение (2):
Замена \(y\) в уравнении (2): \[ 2x^2 - y^2 = 1 \]
Подставляем: \[ 2x^2 - \left(\frac{3x^2 - 1}{2}\right)^2 = 1 \]
Раскроем скобки и возьмем квадраты: \[ 2x^2 - \frac{(3x^2 - 1)^2}{4} = 1 \]
Чтобы избавиться от знаменателя 4, умножим всю систему на 4: \[ 4 \cdot 2x^2 - (3x^2 - 1)^2 = 4 \]
Получаем: \[ 8x^2 - (3x^2 - 1)^2 = 4 \]
Шаг 3. Раскроем квадрат \((3x^2 - 1)^2\):
\[ (3x^2 - 1)^2 = 9x^4 - 6x^2 + 1 \]
Теперь подставим в уравнение: \[ 8x^2 - (9x^4 - 6x^2 + 1) = 4 \]
Раскроем скобки: \[ 8x^2 - 9x^4 + 6x^2 - 1 = 4 \]
Перегруппируем: \[ -9x^4 + (8x^2 + 6x^2) - 1 = 4 \] \[ -9x^4 + 14x^2 - 1 = 4 \]
Перенесем 4 в левую часть: \[ -9x^4 + 14x^2 - 1 - 4 = 0 \]
Объединим: \[ -9x^4 + 14x^2 - 5 = 0 \]
Распишем: \[ -9x^4 + 14x^2 - 5 = 0 \]
или умножим всю уравнение на -1: \[ 9x^4 - 14x^2 + 5 = 0 \]
Шаг 4. Введем замену \(t = x^2\):
Тогда уравнение станет квадратичным: \[ 9t^2 - 14t + 5 = 0 \]
Решим его по формуле: \[ t = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5}}{2 \cdot 9} \]
Вычислим дискриминант: \[ 14^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 196 - 180 = 16 \]
Следовательно: \[ t = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{18} = \frac{14 \pm 4}{18} \]
Рассмотрим оба варианта:
- \(t_1 = \frac{14 + 4}{18} = \frac{18}{18} = 1\)
- \(t_2 = \frac{14 - 4}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}\)
Шаг 5. Вернемся к \(x\):
Значения \(t = x^2\):
- Если \(t = 1\), то \(x^2 = 1 \implies x = \pm 1\).
- Если \(t = \frac{5}{9}\), то \(x^2 = \frac{5}{9} \implies x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}\).
Шаг 6. Найдем \(y\):
Для каждого \(x\) вычислим \(y\):
\[ y = \frac{3x^2 - 1}{2} \]
При \(x = 1\): \[ y = \frac{3 \cdot 1 - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
При \(x = -1\): \[ y = \frac{3 \cdot 1 - 1}{2} = 1 \]
При \(x = \frac{\sqrt{5}}{3}\): \[ x^2 = \frac{5}{9} \] \[ y = \frac{3 \cdot \frac{5}{9} - 1}{2} = \frac{\frac{15}{9} - 1}{2} = \frac{\frac{15}{9} - \frac{9}{9}}{2} = \frac{\frac{6}{9}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{2/3}{2} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \]
При \(x = -\frac{\sqrt{5}}{3}\): \[ y = \frac{\frac{15}{9} - 1}{2} = \frac{\frac{6}{9}}{2} = \frac{1}{3} \]
ИТОГ: решения системы
\[ \boxed{ \begin{aligned} & (x,y) = (1, 1); \\ & (x,y) = (-1, 1); \\ & \left(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3}\right); \\ & \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3}\right) \end{aligned} } \]
Это все решения системы уравнений.
