исследуйте (с помощью первого достаточного условия) на экстремум функции: y=x^3+x^2-8x+1
Давайте решим задачу пошагово, чтобы найти экстремумы функции \( y = x^3 + x^2 - 8x + 1 \) с помощью первого достаточного условия.
Шаг 1. Найдём первую производную функции \( y \)
Чтобы найти точки экстремума, нужно определить критические точки, где первая производная равна нул или не определена.
Производная:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + x^2 - 8x + 1) = 3x^2 + 2x - 8 \]
Шаг 2. Найдём критические точки, приравняв первую производную к нул
\[ 3x^2 + 2x - 8 = 0 \]
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = -8\).
Вычисляем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 3 \times (-8) = 4 + 96 = 100 \]
Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2 \times 3} = \frac{-2 \pm 10}{6} \]
Получаем два критических значения:
- Для плюса:
\[ x_1 = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]
- Для минуса:
\[ x_2 = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \]
Критические точки: \( x = \frac{4}{3} \) и \( x = -2 \).
Шаг 3. Исследование знака первой производной вокруг критических точек (по первому условию).
Первоое условие для экстремума при \(x = x_c\):
- функция достигает локального минимума, если в окрестности точки \(x_c\) производная меняется с отрицательной на положительную.
- локального максимума, если в окрестности — с положительной на отрицательную.
Выберем контрольные точки:
- Для \( x = -3 \) (меньше \(-2\))
- для \( x = 0 \) (между \(-2\) и \(\frac{4}{3}\))
- для \( x = 2 \) (больше \(\frac{4}{3}\))
Посчитаем знак производной в этих точках:
- Для \(x = -3\):
\[ y'(-3) = 3(-3)^2 + 2(-3) - 8 = 3 \times 9 - 6 - 8 = 27 - 6 - 8 = 13 > 0 \] Значит, в районе \(x < -2\), производная положительна.
- Для \(x = 0\):
\[ y'(0) = 0 + 0 - 8 = -8 < 0 \] Между \(-2\) и \(\frac{4}{3}\), производная отрицательна.
- Для \(x = 2\):
\[ y'(2) = 3 \times 4 + 2 \times 2 - 8 = 12 + 4 - 8 = 8 > 0 \] После \(\frac{4}{3}\), производная положительна.
Шаг 4. Сделаем выводы по первому условию
В точке \( x = -2 \):
- слева производная положительна,
- справа — отрицательна.
Значит, функция убывает в окрестности этой точки, а затем растет. Поэтому \( x = -2 \) — локальный максимум.
В точке \( x = \frac{4}{3} \):
- слева производная отрицательна,
- справа — положительна.
Значит, функция убывает перед этой точкой и растет после нее. Поэтому \( x = \frac{4}{3} \) — локальный минимум.
Итог:
- Локальный максимум — при \( x = -2 \),
- Локальный минимум — при \( x = \frac{4}{3} \).
Если нужно, можем найти соответствующие значения функции в этих точках, чтобы указать их полностью.
