Исследуйте (с помощью первого достаточного условия) на экстремум функции: y=x^3+x^2-8x+1

Давайте решим задачу пошагово, чтобы найти экстремумы функции \( y = x^3 + x^2 - 8x + 1 \) с помощью первого достаточного условия. ### Шаг 1. Найдём первую производную функции \( y \) Чтобы найти точки экстремума, нужно определить критические точки, где первая производная равна нул или не определена. Производная: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + x^2 - 8x + 1) = 3x^2 + 2x - 8 \] --- ### Шаг 2. Найдём критические точки, приравняв первую производную к нул \[ 3x^2 + 2x - 8 = 0 \] Это квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = -8\). Вычисляем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 3 \times (-8) = 4 + 96 = 100 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2 \times 3} = \frac{-2 \pm 10}{6} \] Получаем два критических значения: - Для плюса: \[ x_1 = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \] - Для минуса: \[ x_2 = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \] Критические точки: \( x = \frac{4}{3} \) и \( x = -2 \). --- ### Шаг 3. Исследование знака первой производной вокруг критических точек (по первому условию). Первоое условие для экстремума при \(x = x_c\): - функция достигает локального минимума, если в окрестности точки \(x_c\) производная меняется с отрицательной на положительную. - локального максимума, если в окрестности — с положительной на отрицательную. Выберем контрольные точки: - Для \( x = -3 \) (меньше \(-2\)) - для \( x = 0 \) (между \(-2\) и \(\frac{4}{3}\)) - для \( x = 2 \) (больше \(\frac{4}{3}\)) Посчитаем знак производной в этих точках: 1. **Для \(x = -3\):** \[ y'(-3) = 3(-3)^2 + 2(-3) - 8 = 3 \times 9 - 6 - 8 = 27 - 6 - 8 = 13 > 0 \] Значит, в районе \(x < -2\), производная положительна. 2. **Для \(x = 0\):** \[ y'(0) = 0 + 0 - 8 = -8 < 0 \] Между \(-2\) и \(\frac{4}{3}\), производная отрицательна. 3. **Для \(x = 2\):** \[ y'(2) = 3 \times 4 + 2 \times 2 - 8 = 12 + 4 - 8 = 8 > 0 \] После \(\frac{4}{3}\), производная положительна. --- ### Шаг 4. Сделаем выводы по первому условию - В точке \( x = -2 \): - слева производная положительна, - справа — отрицательна. Значит, функция убывает в окрестности этой точки, а затем растет. Поэтому \( x = -2 \) — **локальный максимум**. - В точке \( x = \frac{4}{3} \): - слева производная отрицательна, - справа — положительна. Значит, функция убывает перед этой точкой и растет после нее. Поэтому \( x = \frac{4}{3} \) — **локальный минимум**. --- ### Итог: - **Локальный максимум** — при \( x = -2 \), - **Локальный минимум** — при \( x = \frac{4}{3} \). Если нужно, можем найти соответствующие значения функции в этих точках, чтобы указать их полностью.