задумали трехзначное число делится на 18 и последняя цифра которого не равна нулю. из этого вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. получили число…

Рассмотрим задачу подробно и пошагово.

Дано:

• Есть некоторое трехзначное число \( abc \) (где \( a \), \( b \), \( c \) — цифры числа).
• Это число делится на 18.
• Последняя цифра \( c \neq 0 \).
• Из этого числа вычли число, составленное теми же цифрами, но в обратном порядке \( cba \).
• В результате получили число 594:
  \[ abc - cba = 594 \]

Нужно найти исходное число \( abc \).

---

Шаг 1. Запишем числа в виде числовых выражений:

• Первое число: \( 100a + 10b + c \).
• Обратное число: \( 100c + 10b + a \).

Вычитание даёт:

\[ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 594 \]

Шаг 2. Упростим выражение:

\[ 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 594 \]

Объединим подобные члены:

\[ (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 594 \]

\[ 99a - 99c = 594 \]

Выделим множитель 99:

\[ 99(a - c) = 594 \]

Разделим обе части на 99:

\[ a - c = \frac{594}{99} = 6 \]

Итак, получили:

\[ a - c = 6 \]

---

Шаг 3. Ограничения на цифры:

• \( a \), \( c \) — цифры, \( a \neq 0 \) (так как число трехзначное).
• \( c \neq 0 \), как указано в условии.
• \( a, c \in [1, 9] \).
• \( a - c = 6 \).

Возможные варианты:

\[ a = c + 6 \]

Поскольку \( a \leq 9 \):

\[ c + 6 \leq 9 \Rightarrow c \leq 3 \]

Итак, возможные пары:

\[ \begin{cases} c = 1, \quad a = 7 \\ c = 2, \quad a = 8 \\ c = 3, \quad a = 9 \\ \end{cases} \]

---

Шаг 4. Определение числа \( abc \)

Из условия, что число делится на 18, оно должно делиться и на 9, и на 2.

• Делится на 2 — значит, \( c \) — четная цифра, то есть \( c \in \{2, 4, 6, 8\} \).

Ранее мы нашли возможные \( c \): 1, 2, 3.

Из них только \( c=2 \) — четное число, подходит для деления на 2.

Следовательно, единственный допустимый случай:

\[ c=2, \quad a=8 \]

Теперь число — \( 8b2 \).

---

Шаг 5. Делимость на 9:

• Сумма цифр должна делиться на 9:

\[ a + b + c = 8 + b + 2 = 10 + b \]

Это должно быть делителем 9.

Пусть \( 10 + b \) делится на 9.

Значит:

\[ 10 + b \equiv 0 \pmod{9} \]

\[ b \equiv -10 \equiv -10 + 18 = 8 \pmod{9} \]

Так как \( b \) — цифра (от 0 до 9), то:

\[ b = 8 \]

---

Итоговое число:

\[ abc = 882 \]

---

Проверка:

• Обратное число: \( cba = 288 \).
• Вычитаем:

\[ 882 - 288 = 594 \]

Совпадает с данным результатом.

• Проверим делимость на 18:

  • Делится на 2 (последняя цифра 2) — да.
  • Сумма цифр: \(8 + 8 + 2 = 18\), делится на 9 — да.

Значит, все условия выполнены.

---

Ответ: Загадано число 882.