Задумали трехзначное число делится на 18 и последняя цифра которого не равна нулю. из этого вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. получили число 594. какое число было задумано?

Рассмотрим задачу подробно и пошагово. **Дано:** - Есть некоторое трехзначное число \( abc \) (где \( a \), \( b \), \( c \) — цифры числа). - Это число делится на 18. - Последняя цифра \( c \neq 0 \). - Из этого числа вычли число, составленное теми же цифрами, но в обратном порядке \( cba \). - В результате получили число 594: \[ abc - cba = 594 \] Нужно найти исходное число \( abc \). --- ### Шаг 1. Запишем числа в виде числовых выражений: - Первое число: \( 100a + 10b + c \). - Обратное число: \( 100c + 10b + a \). Вычитание даёт: \[ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 594 \] ### Шаг 2. Упростим выражение: \[ 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 594 \] Объединим подобные члены: \[ (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 594 \] \[ 99a - 99c = 594 \] Выделим множитель 99: \[ 99(a - c) = 594 \] Разделим обе части на 99: \[ a - c = \frac{594}{99} = 6 \] **Итак, получили:** \[ a - c = 6 \] --- ### Шаг 3. Ограничения на цифры: - \( a \), \( c \) — цифры, \( a \neq 0 \) (так как число трехзначное). - \( c \neq 0 \), как указано в условии. - \( a, c \in [1, 9] \). - \( a - c = 6 \). Возможные варианты: \[ a = c + 6 \] Поскольку \( a \leq 9 \): \[ c + 6 \leq 9 \Rightarrow c \leq 3 \] Итак, возможные пары: \[ \begin{cases} c = 1, \quad a = 7 \\ c = 2, \quad a = 8 \\ c = 3, \quad a = 9 \\ \end{cases} \] --- ### Шаг 4. Определение числа \( abc \) Из условия, что число делится на 18, оно должно делиться и на 9, и на 2. - Делится на 2 — значит, \( c \) — четная цифра, то есть \( c \in \{2, 4, 6, 8\} \). Ранее мы нашли возможные \( c \): 1, 2, 3. Из них только \( c=2 \) — четное число, подходит для деления на 2. Следовательно, **единственный допустимый случай**: \[ c=2, \quad a=8 \] Теперь число — \( 8b2 \). --- ### Шаг 5. Делимость на 9: - Сумма цифр должна делиться на 9: \[ a + b + c = 8 + b + 2 = 10 + b \] Это должно быть делителем 9. Пусть \( 10 + b \) делится на 9. Значит: \[ 10 + b \equiv 0 \pmod{9} \] \[ b \equiv -10 \equiv -10 + 18 = 8 \pmod{9} \] Так как \( b \) — цифра (от 0 до 9), то: \[ b = 8 \] --- ### Итоговое число: \[ abc = 882 \] --- ### Проверка: - Обратное число: \( cba = 288 \). - Вычитаем: \[ 882 - 288 = 594 \] Совпадает с данным результатом. - Проверим делимость на 18: - Делится на 2 (последняя цифра 2) — да. - Сумма цифр: \(8 + 8 + 2 = 18\), делится на 9 — да. Значит, все условия выполнены. --- ## **Ответ:** **Загадано число 882**.