На физкультуре 12 12 мальчиков, в том числе Миша с Сашей, выстроились в шеренгу. Найди количество возможных комбинаций, если Миша должен стоять третьим, а Саша последним.

Давайте подробно разберем задачу и найдем количество возможных вариантов выстроить 12 мальчиков в шеренгу, если выполняются два условия:

1. Миша должен стоять на 3-й позиции.
2. Саша должен стоять на последней (12-й) позиции.

Шаг 1. Исходные данные

• Всего мальчиков: 12
• Миша (М) и Саша (С) — фиксированные позиции:
  • Миша — на 3-й позиции.
  • Саша — на 12-й позиции.

Шаг 2. Определение свободных позиций

Позиции в шеренге (от 1 до 12):

• Миша — позиция 3.
• Саша — позиция 12.

Это означает, что:

• В позиции 3 уже стоит Миша.
• В позиции 12 уже стоит Саша.

Всего остальных мальчиков: 10 (так как всего 12, и двое фиксированы).

Шаг 3. Условия для оставшихся мальчиков

• Оставшиеся 10 мальчиков заполнят 10 позиций: 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

Шаг 4. Подсчет вариантов

• В этих 10 позиций можно расположить оставшихся 10 мальчиков в любой последовательности.
• Количество способов разместить 10 мальчиков в 10 позициях — это перестановки: \(10!\).

Итог

• Миша уже занимает свою позицию, Саша — свою.
• Остальные мальчики — свободно переставляются в оставшиеся позиции.

Ответ:

\[ \boxed{ 10! = 3\,628\,800 } \]

Итоговая формулировка:

Количество возможных вариантов выстроить 12 мальчиков в шеренгу при условии, что Миша стоит на третьей позиции, а Саша — на последней, равно \(10!\) — то есть 3 628 800.