На рисунке изображена правильная четырехугольная пирамида. Сторона её основания равна четыре корня из двух, а боковое ребро корень из 97. Чему равен объём данной пирамиды?

Давайте решим задачу по шагам, чтобы найти объем правильной тетраэдра (четырехугольной пирамиды). В условиях дано: - Основание — правильная квадратная (четырехугольная пирамида), - Сторона основания \(a = 4\sqrt{2}\), - Боковое ребро (расстояние от вершины до любой вершины основания) равно \(\sqrt{97}\). Нам нужно найти объем этой пирамиды. --- ### Шаг 1. Построение схемы и обозначения Обозначим: - \(A, B, C, D\) — вершины основания, - \(V\) — вершина пирамиды (вершина, которая соединяется с всеми четырьмя вершинами основания). Тогда: - Основание \(ABCD\) — квадрат со стороной \(a=4\sqrt{2}\), - Высота пирамиды — расстояние от вершины \(V\) до плоскости основания — обозначим как \(h\). --- ### Шаг 2. Найти центр основания и важные расстояния Поскольку основание — квадрат, его центр \(O\) является точкой пересечения диагоналей. Диагональ квадрата равна: \[ d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4 \times 2 = 8 \] Это важно, так как расстояние от центра квадрата до любой вершины равна половине диагонали: \[ AO = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] --- ### Шаг 3. Расстояния от вершины \(V\) до вершины основания Из условия, боковое ребро \(VA = VB = VC = VD = \sqrt{97}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной \(V\), центром основания \(O\), и вершинами основания. Рассчитаем расстояние от \(V\) до центра \(O\). Пусть \(V\) находится на высоте \(h\) над плоскостью основания. Тогда: \[ VO = h \] Расстояние от \(V\) до вершины основания \(A\), например, где \(A\) — вершина четырехугольника, равно: \[ VA = \sqrt{(AO)^2 + h^2} \] где \(AO = 4\), а \(VA\) — боковое ребро, равное \(\sqrt{97}\). Получаем уравнение: \[ \sqrt{97} = \sqrt{4^2 + h^2} = \sqrt{16 + h^2} \] Возводим обе части в квадрат: \[ 97 = 16 + h^2 \implies h^2 = 97 - 16 = 81 \] \[ h = \sqrt{81} = 9 \] --- **Ответ:** высота пирамиды со стороны \(V\) до основания равна \(h=9\). --- ### Шаг 4. Найти площадь основания Площадь квадрата: \[ S_{осн} = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32 \] --- ### Шаг 5. Нахождение объема пирамиды Объем правильной пирамиды с основанием \(S\) и высотой \(h\) равен: \[ V = \frac{1}{3} \times S \times h \] Подставляем найденные значения: \[ V = \frac{1}{3} \times 32 \times 9 = \frac{1}{3} \times 288 = 96 \] --- ## Итог: **Объем данной пирамиды равен \(\boxed{96}\).**