(1)Выражение «филькина грамота» связано с эпохой царя Ивана IV, прозванного Гроз-ным, который для усиления своей власти ввёл опричнину, наводившую ужас на всё государство…

Рассмотрим оба вопроса по порядку.

Вопрос 1: Варианты ответов, в которых верно определена грамматическая основа

1. который ввёл — это придаточное предложение, где основа — «который … ввёл» (подлежащее «который» — настоящеещее время глагола «ввёл»).
2. он стремился — основа предложения «он стремился».
3. называл — основа «он называл» (подлежащее «он» опущено, подразумевается по контексту).
4. митрополит был убит — Основы: «митрополит был» и «убит». В этом предложении есть два сказуемых в составе сложносочиненного предложения.
5. говорили — основа «говорили».

Правильный ответ — 3 (так как в вопросе указано «запишите номера ответов» и правильным выделением является именно предложение 3).
Ответ: 3

Вопрос 2: Верные характеристики предложений текста

1. Предложение 1 осложнено однородными обособленными согласованными определениями, выраженными причастными оборотами.

• В предложении есть обособленные определения: «прозванного Гроз-ным», «наводившую ужас», «который для усиления своей власти ввёл опричнину»…
• Тут есть причастные обороты и признаки осложнения.
  Это верно.

2. В первой части сложного предложения 2 сказуемое составное глагольное.

• В предложении 2: «Не мог примириться … он стремился», это простое предложение, не сложное, и в нем нет составного сказуемого.
• Там есть две части, но в первой части сказуемое — «не мог примириться», во второй — «он стремился». Несложно определить, что это два простых предложения, соединённых союзом «и».
  Это неверно.

3. Предложение 3 простое, односоставное безличное.

• В предложении «А его грамоты — филькиными грамотами» — это простое двусоставное предложение, где подлежащее — «грамоты», а сказуемое — «филькиными грамотами» (именная часть).
• Нет признаков безличности.
  Это неверно.

4. Предложение 4 сложносочинённое.

• В предложении «За смелые обличения Грозного и его опричников митрополит Филип был заточён в монастырь, и он был убит» — это сложносочинённое предложение, соединённое союзом «и».
• В исходном предложении — «Митрополит Филип был заточён в монастырь, где и был убит.» — тоже сложное по структуре.
  Это верно.

5. В предложении 5 содержится 4 грамматические основы.

• Предложение: «Выражение «филькина грамота» укоренилось в народе: вначале так говорили просто о документах, которые не имели юридической силы, а теперь это означает также и «невежественно, безграмотно составленный документ»».
• Грамматические основы:
  • «выражение укоренилось»
  • «так говорили»
  • «которые не имели»
  • «это означает»
    — ровно 4.
    Это верно.

Итоговые ответы:

Ответ на первый вопрос:
3

Ответ на второй вопрос:
1, 4, 5