Давайте решим задачу поэтапно, подробно объясняя каждый шаг.
Дано:
- Температуру нагревателя (Т₁) увеличили на 10%.
- Температуру холодильника (Т₂) уменьшили на 20%.
- Новый КПД (η) = 40%.
Необходимо найти первоначальный КПД (η₀).
Шаг 1. Запишем формулы для КПД идеальной тепловой машины
КПД идеальной тепловой машины определяется формулой:
[
\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}
]
где:
- ( T_1 ) — температура нагревателя (в абсолютных единицах, например, Кельвинах),
- ( T_2 ) — температура холодильника.
Обратите внимание, что температуры всегда в абсолютных шкалах.
Шаг 2. Обозначим первоначальные температуры
Обозначим:
- изначальные температуры: ( T_1 ) и ( T_2 ),
- после изменений:
[
T_1' = T_1 + 0,1 T_1 = 1,1 T_1
]
[
T_2' = T_2 - 0,2 T_2 = 0,8 T_2
]
Шаг 3. Запишем уравнение для нового КПД
После изменений КПД стал равен 40%, то есть:
[
\eta' = 1 - \frac{T_2'}{T_1'} = 0,4
]
Подставим выражения для ( T_1' ) и ( T_2' ):
[
0,4 = 1 - \frac{0,8 T_2}{1,1 T_1}
]
Решим это уравнение относительно ( T_2/T_1 ).
Шаг 4. Найдём отношение ( T_2/T_1 )
Перенесем -1 в левую сторону:
[
\frac{0,8 T_2}{1,1 T_1} = 1 - 0,4 = 0,6
]
Обозначим ( R = \frac{T_2}{T_1} ), тогда:
[
\frac{0,8 R T_1}{1,1 T_1} = 0,6
]
Сократим ( T_1 ):
[
\frac{0,8 R}{1,1} = 0,6
]
Теперь выразим ( R ):
[
0,8 R = 0,6 \times 1,1 = 0,66
]
[
R = \frac{0,66}{0,8} = 0,825
]
Это отношение ( T_2/T_1 ) после изменений.
Шаг 5. Найдём первоначальный КПД
Изначальный КПД:
[
\eta_0 = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - R
]
Подставим найденное ( R ):
[
\eta_0 = 1 - 0,825 = 0,175
]
Переведем в проценты:
[
\eta_0 = 17,5%
]
Итог:
Первоначальный КПД тепловой машины равен 17,5%.
Если есть ещё вопросы или нужно более подробное объяснение — скажите!
