Давайте решим задачу по шагам. У нас есть такие данные:
- Конечная сумма (цель): 200 000 рублей
- Процентная ставка годовых: 5%
- Тип капитализации: ежеквартальная (то есть выплаты процентов происходят 4 раза в году)
- Срок вклада: 3 года
Нам нужно найти первоначальную сумму (капитал), которую необходимо внести, чтобы получить 200 000 рублей по окончании срока.
Шаг 1. Определим параметры
- Годовая ставка: ( r_{год} = 5% = 0,05 )
- Количество периодов в году: ( n_{мес} = 4 ) (ежеквартально)
- Общие периоды за весь срок: ( N = n_{мес} \times 3 \text{ года} = 4 \times 3 = 12 )
Шаг 2. Рассчитаем ставку за один квартал
Так как капитализация происходит 4 раза в год, ставка за один квартал будет:
[
r_{кв)} = \frac{r_{год}}{n_{мес}} = \frac{0,05}{4} = 0,0125
]
или 1.25% за квартал.
Шаг 3. Формула для будущей стоимости
Формула для вычисления итоговой суммы (будущей стоимости):
[
FV = PV \times (1 + r_{кв})^{N}
]
Где:
- ( FV = 200,000 ) — конечная сумма,
- ( PV ) — первоначальная сумма (то, что нужно найти),
- ( r_{кв} = 0,0125 ),
- ( N = 12 ) — количество периодов.
Перепишем уравнение для нахождения ( PV ):
[
PV = \frac{FV}{(1 + r_{кв})^{N}}
]
Шаг 4. Подставим значения и вычислим
[
PV = \frac{200,000}{(1 + 0,0125)^{12}}
]
Вычислим знаменатель:
[
(1 + 0,0125)^{12} = (1,0125)^{12}
]
Используем калькулятор:
[
(1,0125)^{12} \approx e^{12 \times \ln(1,0125)} \quad \text{(по формуле для степени)}
]
Посчитаем:
[
\ln(1,0125) \approx 0,012422
]
Тогда:
[
12 \times 0,012422 \approx 0,14907
]
И:
[
e^{0,14907} \approx 1,1608
]
Теперь окончательное значение:
[
PV = \frac{200,000}{1,1608} \approx 172,330.58
]
Ответ:
Для получения 200 000 рублей через 3 года при ставке 5% годовых с ежеквартальной капитализацией нужно внести примерно 172 331 рубль в начале вклада.
Если нужны более точные расчёты или объяснение, скажите!
