Реши номер 2 и номер 3

Конечно! Вот подробные решения задач номер 2 и номер 3. --- ### Задача 2: \[ x^3 \sqrt{x} = \left(\sqrt{x}\right)^x \] **Пояснение и решение:** 1. Запишем исходное выражение: \[ x^3 \sqrt{x} = (\sqrt{x})^x \] 2. Преобразуем \(\sqrt{x}\): \[ \sqrt{x} = x^{1/2} \] Тогда: \[ (\sqrt{x})^x = (x^{1/2})^x = x^{x/2} \] 3. Теперь уравнение выглядит так: \[ x^3 \cdot x^{1/2} = x^{x/2} \] 4. Объединим левую часть, складывая показатели степеней, так как базовое число одинаковое: \[ x^{3} \cdot x^{1/2} = x^{3 + 1/2} = x^{(6/2) + (1/2)} = x^{7/2} \] 5. Теперь уравнение: \[ x^{7/2} = x^{x/2} \] 6. Поскольку степени с одинаковой основой равны, при \( x > 0 \) (для определения корней): \[ \frac{7}{2} = \frac{x}{2} \] 7. Умножим обе части на 2: \[ 7 = x \] **Ответ:** \[ \boxed{ x=7 } \] --- ### Задача 3: \[ 2 \sqrt{x} \cdot x^4 + 5 \cdot 2^{x+2} + 2 \sqrt{x} = 2^{2x+2} + 5 \sqrt{x} \cdot 2^2 + 4 \] **Пояснение и решение:** 1. Раскроем и упростим выражение: Исходное уравнение: \[ 2 \sqrt{x} \cdot x^4 + 5 \cdot 2^{x+2} + 2 \sqrt{x} = 2^{2x+2} + 5 \sqrt{x} \cdot 2^2 + 4 \] 2. Упростим части: - \( 5 \cdot 2^{x+2} = 5 \cdot 2^{x} \cdot 2^2 = 5 \cdot 2^x \cdot 4 = 20 \cdot 2^x \) - \( 2 \sqrt{x} \cdot x^4 \) — оставим так для пока 3. Перенесем все в левую сторону: \[ 2 \sqrt{x} \cdot x^4 + 20 \cdot 2^x + 2 \sqrt{x} - 2^{2x+2} - 20 \cdot 2^x - 4 = 0 \] 4. Заметим, что \( 20 \cdot 2^x \) и \( -20 \cdot 2^x \) сократятся: \[ 2 \sqrt{x} \cdot x^4 + 2 \sqrt{x} - 2^{2x+2} - 4 = 0 \] 5. Выразим \( 2^{2x+2} \): \[ 2^{2x+2} = 2^{2x} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{2x} \] 6. Тогда уравнение: \[ 2 \sqrt{x} \cdot x^4 + 2 \sqrt{x} - 4 \cdot 2^{2x} - 4 = 0 \] 7. Разделим уравнение на 2: \[ \sqrt{x} \cdot x^4 + \sqrt{x} - 2 \cdot 2^{2x} - 2 = 0 \] 8. Сделаем замену: \[ t = \sqrt{x} \quad \Rightarrow \quad x = t^2 \] Тогда: \[ \sqrt{x} \cdot x^4 = t \cdot (t^2)^4 = t \cdot t^{8} = t^{9} \] и \[ 2^{2x} = 2^{2 t^{2}} \] 9. Подставим: \[ t^{9} + t - 2 \cdot 2^{2 t^{2}} - 2 = 0 \] 10. Получаем уравнение относительно \( t \): \[ t^{9} + t = 2 \cdot 2^{2 t^{2}} + 2 \] Это довольно сложное уравнение, в общем случае — решать аналитически трудно. Однако, попробуем проверить простые значения для \( x \): - Для \( x = 1 \): \[ t = \sqrt{1} = 1 \] Подставим в уравнение: \[ 1^{9} + 1 - 2 \cdot 2^{2 \cdot 1} - 2 = 1 + 1 - 2 \cdot 2^{2} - 2 = 2 - 2 \cdot 4 - 2 = 2 - 8 - 2 = -8 \neq 0 \] - Для \( x = 4 \): \[ t = \sqrt{4} = 2 \] Подставим: \[ 2^{9} + 2 - 2 \cdot 2^{2 \cdot 4} - 2 = 512 + 2 - 2 \cdot 2^{8} - 2 = 514 - 2 \cdot 256 - 2 = 514 - 512 - 2 = 0 \] **Отлично!** Нашли решение — при \( t = 2 \), что соответствует \( x = t^2 = 4 \). **Ответ:** \[ \boxed{ x = 4 } \] --- Если нужно, я могу пояснить подробнее или помочь с другими задачами!