Реши номер 2 и номер 3

Конечно! Вот подробные решения задач номер 2 и номер 3.

Задача 2:

\[ x^3 \sqrt{x} = \left(\sqrt{x}\right)^x \]

Пояснение и решение:

1. Запишем исходное выражение: \[ x^3 \sqrt{x} = (\sqrt{x})^x \]

2. Преобразуем \(\sqrt{x}\): \[ \sqrt{x} = x^{1/2} \] Тогда: \[ (\sqrt{x})^x = (x^{1/2})^x = x^{x/2} \]

3. Теперь уравнение выглядит так: \[ x^3 \cdot x^{1/2} = x^{x/2} \]

4. Объединим левую часть, складывая показатели степеней, так как базовое число одинаковое: \[ x^{3} \cdot x^{1/2} = x^{3 + 1/2} = x^{(6/2) + (1/2)} = x^{7/2} \]

5. Теперь уравнение: \[ x^{7/2} = x^{x/2} \]

6. Поскольку степени с одинаковой основой равны, при \( x > 0 \) (для определения корней): \[ \frac{7}{2} = \frac{x}{2} \]

7. Умножим обе части на 2: \[ 7 = x \]

Ответ: \[ \boxed{ x=7 } \]

Задача 3:

\[ 2 \sqrt{x} \cdot x^4 + 5 \cdot 2^{x+2} + 2 \sqrt{x} = 2^{2x+2} + 5 \sqrt{x} \cdot 2^2 + 4 \]

Пояснение и решение:

1. Раскроем и упростим выражение:

Исходное уравнение: \[ 2 \sqrt{x} \cdot x^4 + 5 \cdot 2^{x+2} + 2 \sqrt{x} = 2^{2x+2} + 5 \sqrt{x} \cdot 2^2 + 4 \]

2. Упростим части:

• \( 5 \cdot 2^{x+2} = 5 \cdot 2^{x} \cdot 2^2 = 5 \cdot 2^x \cdot 4 = 20 \cdot 2^x \)
• \( 2 \sqrt{x} \cdot x^4 \) — оставим так для пока

3. Перенесем все в левую сторону: \[ 2 \sqrt{x} \cdot x^4 + 20 \cdot 2^x + 2 \sqrt{x} - 2^{2x+2} - 20 \cdot 2^x - 4 = 0 \]

4. Заметим, что \( 20 \cdot 2^x \) и \( -20 \cdot 2^x \) сократятся: \[ 2 \sqrt{x} \cdot x^4 + 2 \sqrt{x} - 2^{2x+2} - 4 = 0 \]

5. Выразим \( 2^{2x+2} \): \[ 2^{2x+2} = 2^{2x} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{2x} \]

6. Тогда уравнение: \[ 2 \sqrt{x} \cdot x^4 + 2 \sqrt{x} - 4 \cdot 2^{2x} - 4 = 0 \]

7. Разделим уравнение на 2: \[ \sqrt{x} \cdot x^4 + \sqrt{x} - 2 \cdot 2^{2x} - 2 = 0 \]

8. Сделаем замену: \[ t = \sqrt{x} \quad \Rightarrow \quad x = t^2 \]

Тогда: \[ \sqrt{x} \cdot x^4 = t \cdot (t^2)^4 = t \cdot t^{8} = t^{9} \] и \[ 2^{2x} = 2^{2 t^{2}} \]

9. Подставим: \[ t^{9} + t - 2 \cdot 2^{2 t^{2}} - 2 = 0 \]

10. Получаем уравнение относительно \( t \): \[ t^{9} + t = 2 \cdot 2^{2 t^{2}} + 2 \]

Это довольно сложное уравнение, в общем случае — решать аналитически трудно. Однако, попробуем проверить простые значения для \( x \):

• Для \( x = 1 \): \[ t = \sqrt{1} = 1 \] Подставим в уравнение: \[ 1^{9} + 1 - 2 \cdot 2^{2 \cdot 1} - 2 = 1 + 1 - 2 \cdot 2^{2} - 2 = 2 - 2 \cdot 4 - 2 = 2 - 8 - 2 = -8 \neq 0 \]

• Для \( x = 4 \): \[ t = \sqrt{4} = 2 \] Подставим: \[ 2^{9} + 2 - 2 \cdot 2^{2 \cdot 4} - 2 = 512 + 2 - 2 \cdot 2^{8} - 2 = 514 - 2 \cdot 256 - 2 = 514 - 512 - 2 = 0 \]

Отлично! Нашли решение — при \( t = 2 \), что соответствует \( x = t^2 = 4 \).

Ответ: \[ \boxed{ x = 4 } \]

Если нужно, я могу пояснить подробнее или помочь с другими задачами!