Давайте решим систему уравнений:
- (\log_2 x - \log_2 y = 3)
- (\log_6 (x + 4y) = 2)
Цель — понять решение подробно.
Шаг 1: Упростим первое уравнение
Используем свойства логарифмов:
(\log_a A - \log_a B = \log_a \frac{A}{B})
Для первого уравнения:
[
\log_2 x - \log_2 y = \log_2 \frac{x}{y} = 3
]
Это значит:
[
\frac{x}{y} = 2^3 = 8
]
Отсюда выражаем (x):
[
x = 8y
]
Шаг 2: Подставим (x = 8y) во второе уравнение
Второе уравнение:
[
\log_6(x + 4y) = 2
]
Подставляем (x = 8y):
[
\log_6(8y + 4y) = 2
]
Выносим сумму:
[
\log_6 (12 y) = 2
]
Перепишем это уравнение, используя свойство логарифма:
[
12 y = 6^2
]
Поскольку (6^2 = 36):
[
12 y = 36
]
Решаем относительно (y):
[
y = \frac{36}{12} = 3
]
Шаг 3: Найдём (x)
Из полученного значения (y=3) используем формулу (x=8 y):
[
x = 8 \times 3 = 24
]
Итог:
Ответ:
[
\boxed{
x = 24, \quad y = 3
}
]
Проверка:
Проверим оба уравнения:
- (\log_2 x - \log_2 y = \log_2 24 - \log_2 3)
[
\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 \left(\frac{24}{3}\right) = \log_2 8 = 3
]
Верно.
- (\log_6 (x + 4 y) = \log_6 (24 + 4 \times 3) = \log_6 (24 + 12) = \log_6 36)
[
\log_6 36 = \log_6 (6^2) = 2
]
Верно.
Если нужны дополнительные объяснения — скажи!
