решите систему уравнений log2x-log2y=3, log6(x+4y) =2
Давайте решим систему уравнений:
- \(\log_2 x - \log_2 y = 3\)
- \(\log_6 (x + 4y) = 2\)
Цель — понять решение подробно.
Шаг 1: Упростим первое уравнение
Используем свойства логарифмов:
\(\log_a A - \log_a B = \log_a \frac{A}{B}\)
Для первого уравнения:
\[ \log_2 x - \log_2 y = \log_2 \frac{x}{y} = 3 \]
Это значит:
\[ \frac{x}{y} = 2^3 = 8 \]
Отсюда выражаем \(x\):
\[ x = 8y \]
Шаг 2: Подставим \(x = 8y\) во второе уравнение
Второе уравнение:
\[ \log_6(x + 4y) = 2 \]
Подставляем \(x = 8y\):
\[ \log_6(8y + 4y) = 2 \]
Выносим сумму:
\[ \log_6 (12 y) = 2 \]
Перепишем это уравнение, используя свойство логарифма:
\[ 12 y = 6^2 \]
Поскольку \(6^2 = 36\):
\[ 12 y = 36 \]
Решаем относительно \(y\):
\[ y = \frac{36}{12} = 3 \]
Шаг 3: Найдём \(x\)
Из полученного значения \(y=3\) используем формулу \(x=8 y\):
\[ x = 8 \times 3 = 24 \]
Итог:
Ответ:
\[
\boxed{
x = 24, \quad y = 3
}
\]
Проверка:
Проверим оба уравнения:
- \(\log_2 x - \log_2 y = \log_2 24 - \log_2 3\)
\[ \log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 \left(\frac{24}{3}\right) = \log_2 8 = 3 \]
Верно.
- \(\log_6 (x + 4 y) = \log_6 (24 + 4 \times 3) = \log_6 (24 + 12) = \log_6 36\)
\[ \log_6 36 = \log_6 (6^2) = 2 \]
Верно.
Если нужны дополнительные объяснения — скажи!
