К окружности с центром O проведена касательная AB (A касательная) найдите радиус окружности, если OB=10см и угол ABO=30°

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап. **Дано:** - Окружность с центром \(O\) - Точка \(A\) — точка касания, касательная к окружности - \(AB\) — касательная к окружности, проведённая из точки \(A\) - \(OB = 10\, \text{см}\) - \(\angle ABO = 30^\circ\) Нужно найти радиус окружности \(r\). --- ### Шаг 1: Анализ задачи и построение схемы 1. \(O\) — центр окружности. 2. \(A\) — точка касания касательной \(AB\). 3. \(\text{Касательная}\) \(AB\) касается окружности в точке \(A\), значит \(A\) — точка касания, и радиус \(OA\) перпендикулярен касательной в точке касания: \[ OA \perp AB \] 4. \(B\) — точка, через которую проведена касательная \(AB\). 5. Из условия \(OB = 10\,\text{см}\). 6. \(\angle ABO = 30^\circ\). Этот угол — угол между касательной \(AB\) и отрезком \(OB\). --- ### Шаг 2: Важные свойства касательной - Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: \[ OA \perp AB \] - Так как \(A\) — точка касания, \(\angle OAB\) — угол между радиусом \(OA\) и касательной \(AB\). Этот угол равен \(90^\circ\). --- ### Шаг 3: Анализ треугольника \(O B A\) Обозначим: - Радиус \(r = OA = \text{неизвестно}\), - \(OB = 10\,\text{см}\), - Угол \(\angle ABO = 30^\circ\). --- ### Шаг 4: Использование свойств и тригонометрии Поскольку \(A\) — точка касания, и \(OA \perp AB\), то в треугольнике \(O A B\): - \(\angle O A B\) — это угол между радиусом \(OA\) и линией \(AB\); - Поскольку \(OA\)—перпендикуляр \(AB\), то \(\angle O A B = 90^\circ\). Обратим внимание на угол \(\angle ABO = 30^\circ\). Он находится в треугольнике \(A B O\). Рассмотрим треугольник \(A B O\): - \(OB = 10\,\text{см}\), - \(\angle A B O = 30^\circ\), - \(A\) — точка касания, \(A B\) — касательная, а \(A O\) — радиус. --- ### Шаг 5: Рассмотрим треугольник \(A B O\) Треугольник \(A B O\): - \(OB = 10\,\text{см}\), - \(\angle A B O = 30^\circ\), - \(A\) — точка касания. Используем тригонометрию, чтобы найти \(AO (r)\). **Обратите внимание:** Тогда, по закону синусов в треугольнике \(A B O\): \[ \frac{AO}{\sin \angle A B O} = \frac{OB}{\sin \angle A O B} \] не совсем подходит, потому что не хватает информации о других углах. --- ### Шаг 6: Алгебраическое решение через геометрические свойства В треугольнике \(OAB\): - \(OA \perp AB\), - \(OB = 10\, \text{см}\), - \(A\)—точка касания, касательная \(AB\), - \(\angle ABO = 30^\circ\). Значит, можно рассмотреть треугольник \(OAB\), где: - \(OA = r\), - \(OB = 10\, \textсм\), - \(\angle ABO = 30^\circ\). Поскольку \(A\) — точка касания, и \(OA \perp AB\), то: \[ \angle O A B = 90^\circ \] Следовательно: \[ \angle O B A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] Это важное наблюдение! В треугольнике \(O A B\): - \(O A = r\), - \(O B = 10\), - \(\angle A O B = 60^\circ\). --- ### Шаг 7: Использование закона косинусов В треугольнике \(O A B\): \[ OB^2 = OA^2 + AB^2 - 2 \cdot OA \cdot AB \cdot \cos 60^\circ \] Но \(AB\) — касательная, и по свойствам касательной, она перпендикулярна радиусу в точке касания \(A\). Рассмотрим более простое решение: так как \(A B\) — касательная, \(OA \perp A B\): - \(A B\) — касательная, проведённая из точки \(A\), - радиус \(OA\) перпендикулярен касательной в точке касания. Обозначим длину касательной \(AB = x\). Из треугольника \(A B O\): - угол при \(O\) равен \(90^\circ\) (так как радиус перпендикулярен касательной), - \(O B = 10\, \textсм\), - \(A O = r\). Но так как касательная из точки \(A\) к окружности — это отрезок \(A B\), и данный угол \(30^\circ\) — это угол между \(OB\) и касательной \(AB\), который при этом создается. --- ### **Итоговое решение:** - Угол между касательной \(AB\) и \(OB\) равен \(30^\circ\), - радиус \(r\), - \(OB = 10\, \textсм\), Поскольку \(AB\) — касательная, и она образует угол \(30^\circ\) с отрезком \(OB\), можно определить \(r\) через треугольник. Используем **закон синусов** в треугольнике \(OAB\): \[ \frac{r}{\sin 30^\circ} = \frac{10}{\sin 90^\circ} \] Потому что: - \(\angle O A B = 90^\circ\), - \(\angle A B O = 30^\circ\). Тогда: \[ r = \frac{10 \times \sin 30^\circ}{\sin 90^\circ} = \frac{10 \times 0.5}{1} = 5\, \text{см} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Радиус окружности } r = 5\, \text{см} } \] --- Если нужны дополнительные объяснения или уточнения, я с радостью помогу!