Давайте подробно решим задачу по шагам.
Дано:
- Площадь каждого участка = 252 м².
- Два каменьщика укладывают по одинаковой площади, то есть оба работают на один участок по 252 м².
- Первый каменьщик укладывает на 3 м² больше в день, чем второй.
- Работа первого каменьщика завершается на 2 дня раньше, чем у второго.
Обозначения:
- Пусть ( x ) — сколько м² укладывает второй каменьщик в день.
- Тогда первый каменьщик укладывает ( x + 3 ) м² в день.
- Пусть ( t_2 ) — количество дней, которое требуется второму каменьщику, чтобы завершить работу.
- Тогда, следовательно, первый каменьщик работает ( t_1 = t_2 - 2 ) дня.
Запишем уравнения:
Для каждого каменьщика площадь работы равна 252 м².
Для второго:
[
x \times t_2 = 252 \quad (1)
]
Для первого:
[
(x + 3) \times t_1 = 252 \quad (2)
]
Также знаем:
[
t_1 = t_2 - 2
]
Подставим ( t_1 ) в уравнение (2):
[
(x + 3)(t_2 - 2) = 252
]
Рассмотрим уравнение (1):
[
t_2 = \frac{252}{x}
]
Подставим в уравнение (2):
[
(x + 3)\left( \frac{252}{x} - 2 \right) = 252
]
Раскроем скобки:
[
(x + 3) \left( \frac{252 - 2x}{x} \right) = 252
]
Перемножим:
[
\frac{(x + 3)(252 - 2x)}{x} = 252
]
Умножим обе части на ( x ):
[
(x + 3)(252 - 2x) = 252x
]
Раскроем скобки:
[
(x)(252 - 2x) + 3(252 - 2x) = 252x
]
Это:
[
252x - 2x^2 + 756 - 6x = 252x
]
Перенесем все в левую сторону:
[
252x - 2x^2 + 756 - 6x - 252x = 0
]
Сократим похожие члены:
[
(252x - 252x) + (-6x) - 2x^2 + 756 = 0
]
Остается:
[
-6x - 2x^2 + 756 = 0
]
Переставим:
[
-2x^2 - 6x + 756 = 0
]
Разделим всю уравнение на -2:
[
x^2 + 3x - 378 = 0
]
Решим квадратное уравнение:
[
x^2 + 3x - 378 = 0
]
Дискриминант:
[
D = 3^2 - 4 \times 1 \times (-378) = 9 + 1512 = 1521
]
Корень из дискриминанта:
[
\sqrt{1521} = 39
]
Находим корни:
[
x = \frac{-3 \pm 39}{2}
]
Первый:
[
x_1 = \frac{-3 + 39}{2} = \frac{36}{2} = 18
]
Второй:
[
x_2 = \frac{-3 - 39}{2} = \frac{-42}{2} = -21
]
Так как количество укладываемой в день плитки не может быть отрицательным, берем ( x=18 ).
Ответ:
Первый каменьщик укладывает в день на 3 м² больше, чем второй, то есть:
[
x + 3 = 18 + 3 = \boxed{21}
]
Ответ: в день первый каменьщик укладывает 21 м² плитки.
