Окружности с радиусом 8 см проведён диаметр и на нём отмечена точка А на расстоянии 4 см от центра. Найти радиус окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается первой окружности.

Давайте подробно решим задачу. **Условие задачи:** - Есть окружность с радиусом \( R = 8 \text{ см} \). - Проведен диаметр и на нем отмечена точка \( A \), которая находится на расстоянии 4 см от центра окружности \( O \). - Требуется найти радиус \( r \) окружности, которая: - касается диаметра в точке \( A \), - и изнутри соприкасается с первой окружностью. --- ### Шаг 1. Запишем известные данные и основные идеи: - Центр большой окружности: \( O \). - Радиус большой окружности: \( R = 8 \text{ см} \). - Точка \( A \) расположена на диаметре и на расстоянии 4 см от центра \( O \): \[ |OA| = 4 \text{ см} \] - Малая окружность, радиус которой \( r \), касается диаметра в точке \( A \). Значит, вся малая окружность касается прямой, являющейся диаметром, в точке \( A \). - Малая окружность касается внутри большой, значит она расположена внутри большой окружности и соприкасается с ней в одной точке, при этом радиус малой окружности \( r \) определяется как расстояние между центрами двух окружностей минус радиус большой окружности и радиус малой окружности. --- ### Шаг 2. Определение положения центра малой окружности - Пусть центр малой окружности — это точка \( C \). - Малая окружность касается диаметра в точке \( A \). Так как малая окружность касается прямой в точке \( A \), то центр малой окружности \( C \) лежит на перпендикулярной к диаметру через \( A \) и расстоянии \( r \) от \( A \). Иначе говоря, \( A \) — это точка касания, и она является точкой на окружности малого радиуса, а центр \( C \) лежит на нормали к диаметру, проведенной через \( A \), на расстоянии \( r \). - Диаметр — это отрезок \( OD \), где \( O \) — центр большой окружности, и \( A \) находится на нем на расстоянии 4 см от \( O \). Пусть \( O \) — координата (0, 0). Тогда, если длина диаметра — это ось по горизонтали, то \( A \) находится, например, в точке \( (4, 0) \). --- ### Шаг 3. Определение центра малой окружности \( C \) - Центр малой окружности — это точка \( C \), которая находится на перпендикуляре к диаметру в точке \( A(4, 0) \). - Так как малая окружность касается диаметра в точке \( A \), и радиус — это расстояние от \( C \) до \( A \), то: \[ |AC| = r \] - Центр \( C \) находится на перпендикуляре к диаметру в \( A \), а диаметр — это горизонтальная ось, значит, центр малой окружности вертикально от \( A \), то есть по оси \( y \). - Пусть \( C = (4, y) \). Тогда, расстояние от \( C \) до \( A \): \[ |AC| = |y - 0| = r \] \[ \Rightarrow r = |y| \] но поскольку центр при этом находится в вертикальной линии, и малая окружность касается в точке \( A(4,0) \), центр \( C \) — где-то на расстоянии \( r \) по вертикали в сторону либо вверх, либо вниз. --- ### Шаг 4. Связь с большими окружностью - Малая окружность должна касаться внутренне большой окружности: \[ |OC| = R - r \] - Расстояние между центрами для внутренних касаний: \( O = (0,0) \), а \( C = (4, y) \): \[ |OC| = \sqrt{(4 - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{16 + y^2} \] - Так как касание внутреннее: \[ \sqrt{16 + y^2} = R - r \] \[ \sqrt{16 + y^2} = 8 - r \] - Но мы знаем, что \( r = |y| \). Поскольку радиус положителен, предположим \( y > 0 \): \[ \sqrt{16 + y^2} = 8 - y \] --- ### Шаг 5. Решение уравнения Возводим обе части в квадрат: \[ 16 + y^2 = (8 - y)^2 \] Раскроем правую сторону: \[ 16 + y^2 = 64 - 16 y + y^2 \] Упростим: \[ 16 + y^2 = 64 - 16 y + y^2 \] Сократим \( y^2 \) по обе стороны: \[ 16 = 64 - 16 y \] Переносим числа: \[ 16 y = 64 - 16 \] \[ 16 y = 48 \] \[ y = \frac{48}{16} = 3 \] Тогда радиус: \[ r = y = 3 \text{ см} \] --- ### Итог: **Радиус искомой малой окружности:** \[ \boxed{ r = 3 \text{ см} } \] --- ### Ответ: Радиус искомой окружности равен **3 см**.