окружности с радиусом 8 см проведён диаметр и на нём отмечена точка А на расстоянии 4 см от центра. Найти радиус окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается…
Окружности с радиусом 8 см проведён диаметр и на нём отмечена точка А на расстоянии 4 см от центра. Найти радиус окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается первой окружности.
Давайте подробно решим задачу.
Условие задачи:
- Есть окружность с радиусом \( R = 8 \text{ см} \).
- Проведен диаметр и на нем отмечена точка \( A \), которая находится на расстоянии 4 см от центра окружности \( O \).
- Требуется найти радиус \( r \) окружности, которая:
- касается диаметра в точке \( A \),
- и изнутри соприкасается с первой окружностью.
Шаг 1. Запишем известные данные и основные идеи:
Центр большой окружности: \( O \).
Радиус большой окружности: \( R = 8 \text{ см} \).
Точка \( A \) расположена на диаметре и на расстоянии 4 см от центра \( O \):
\[ |OA| = 4 \text{ см} \]Малая окружность, радиус которой \( r \), касается диаметра в точке \( A \).
Значит, вся малая окружность касается прямой, являющейся диаметром, в точке \( A \).Малая окружность касается внутри большой, значит она расположена внутри большой окружности и соприкасается с ней в одной точке, при этом радиус малой окружности \( r \) определяется как расстояние между центрами двух окружностей минус радиус большой окружности и радиус малой окружности.
Шаг 2. Определение положения центра малой окружности
Пусть центр малой окружности — это точка \( C \).
Малая окружность касается диаметра в точке \( A \).
Так как малая окружность касается прямой в точке \( A \), то центр малой окружности \( C \) лежит на перпендикулярной к диаметру через \( A \) и расстоянии \( r \) от \( A \).
Иначе говоря, \( A \) — это точка касания, и она является точкой на окружности малого радиуса, а центр \( C \) лежит на нормали к диаметру, проведенной через \( A \), на расстоянии \( r \).Диаметр — это отрезок \( OD \), где \( O \) — центр большой окружности, и \( A \) находится на нем на расстоянии 4 см от \( O \).
Пусть \( O \) — координата (0, 0). Тогда, если длина диаметра — это ось по горизонтали, то \( A \) находится, например, в точке \( (4, 0) \).
Шаг 3. Определение центра малой окружности \( C \)
Центр малой окружности — это точка \( C \), которая находится на перпендикуляре к диаметру в точке \( A(4, 0) \).
Так как малая окружность касается диаметра в точке \( A \), и радиус — это расстояние от \( C \) до \( A \), то:
\[ |AC| = r \]
Центр \( C \) находится на перпендикуляре к диаметру в \( A \), а диаметр — это горизонтальная ось, значит, центр малой окружности вертикально от \( A \), то есть по оси \( y \).
Пусть \( C = (4, y) \). Тогда, расстояние от \( C \) до \( A \):
\[ |AC| = |y - 0| = r \] \[ \Rightarrow r = |y| \]
но поскольку центр при этом находится в вертикальной линии, и малая окружность касается в точке \( A(4,0) \), центр \( C \) — где-то на расстоянии \( r \) по вертикали в сторону либо вверх, либо вниз.
Шаг 4. Связь с большими окружностью
- Малая окружность должна касаться внутренне большой окружности:
\[ |OC| = R - r \]
- Расстояние между центрами для внутренних касаний: \( O = (0,0) \), а \( C = (4, y) \):
\[ |OC| = \sqrt{(4 - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{16 + y^2} \]
Так как касание внутреннее: \[ \sqrt{16 + y^2} = R - r \] \[ \sqrt{16 + y^2} = 8 - r \]
Но мы знаем, что \( r = |y| \). Поскольку радиус положителен, предположим \( y > 0 \):
\[ \sqrt{16 + y^2} = 8 - y \]
Шаг 5. Решение уравнения
Возводим обе части в квадрат:
\[ 16 + y^2 = (8 - y)^2 \]
Раскроем правую сторону:
\[ 16 + y^2 = 64 - 16 y + y^2 \]
Упростим:
\[ 16 + y^2 = 64 - 16 y + y^2 \]
Сократим \( y^2 \) по обе стороны:
\[ 16 = 64 - 16 y \]
Переносим числа:
\[ 16 y = 64 - 16 \] \[ 16 y = 48 \] \[ y = \frac{48}{16} = 3 \]
Тогда радиус:
\[ r = y = 3 \text{ см} \]
Итог:
Радиус искомой малой окружности:
\[ \boxed{ r = 3 \text{ см} } \]
Ответ:
Радиус искомой окружности равен 3 см.
