Обозначим:
- ( v ) — скорость лодки в неподвижной воде (ты нужно найти);
- ( t_1 ) — время прохождения пути против течения;
- ( t_2 ) — время прохождения пути по течению;
- скорость течения реки ( v_{р} = 3 ) км/ч.
Известно, что:
- расстояние против течения и по течению одинаковое — 176 км;
- время на обратный путь (по течению) на 3 часа меньше, чем против течения:
[ t_2 = t_1 - 3. ]
Скорости при движении:
- против течения: ( v - v_{р} = v - 3 );
- по течению: ( v + v_{р} = v + 3 ).
Время прохода каждого участка:
[
t_1 = \frac{176}{v - 3}, \quad t_2 = \frac{176}{v + 3}.
]
По условию:
[
t_2 = t_1 - 3.
]
Подставим выражения:
[
\frac{176}{v + 3} = \frac{176}{v - 3} - 3.
]
Перенесем все в левую сторону:
[
\frac{176}{v + 3} - \frac{176}{v - 3} = -3.
]
Обозначим:
[
A = v + 3, \quad B = v - 3.
]
Тогда:
[
\frac{176}{A} - \frac{176}{B} = -3.
]
Приведем левую часть к общему знаменателю:
[
\frac{176B - 176A}{AB} = -3.
]
В числителе вынесем 176:
[
\frac{176 (B - A)}{AB} = -3.
]
Заменим обратно ( A = v + 3 ) и ( B = v - 3 ):
[
\frac{176 [(v - 3) - (v + 3)]}{(v + 3)(v - 3)} = -3.
]
В числителе:
[
(v - 3) - (v + 3) = v - 3 - v - 3 = -6.
]
Подставим:
[
\frac{176 \times (-6)}{(v + 3)(v - 3)} = -3.
]
Обчислим числитель:
[
-1056.
]
Запишем уравнение:
[
\frac{-1056}{(v + 3)(v - 3)} = -3.
]
Перемножим обе части на знаменатель:
[
-1056 = -3 \times (v + 3)(v - 3).
]
Обратим знак слева и справа:
[
1056 = 3 (v^2 - 9),
]
так как ( (v + 3)(v - 3) = v^2 - 9 ).
Разделим обе стороны на 3:
[
352 = v^2 - 9,
]
следовательно:
[
v^2 = 352 + 9 = 361.
]
Найдем ( v ):
[
v = \pm \sqrt{361} = \pm 19.
]
Так как скорость лодки не может быть отрицательной, принимаем положительный ответ:
[
\boxed{v = 19 \text{ км/ч}}.
]
Ответ: 19 км/ч.
