Исследование функции с помощью производной и построение графика y=1/2x⁴-8x²

Конечно! Вот подробное объяснение для исследования функции \( y = \frac{1}{2}x^4 - 8x^2 \) с помощью производной и построения её графика. --- ## Шаг 1. Записать функцию \[ y = \frac{1}{2}x^4 - 8x^2 \] --- ## Шаг 2. Найти первую производную \( y' \) Для этого дифференцируем каждое слагаемое: - Производная \( \frac{1}{2}x^4 \): \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^4\right) = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 = 2x^3 \] - Производная \( -8x^2 \): \[ \frac{d}{dx}(-8x^2) = -8 \cdot 2x = -16x \] Итак, первая производная: \[ y' = 2x^3 - 16x \] --- ## Шаг 3. Найти точки экстремума (критические точки) Решаем уравнение \( y' = 0 \): \[ 2x^3 - 16x = 0 \] Вынесем общий множитель \( 2x \): \[ 2x(x^2 - 8) = 0 \] Анализируем: \[ 2x = 0 \Rightarrow x=0 \] или \[ x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2=8 \Rightarrow x= \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \] ### Критические точки: \[ x= 0, \quad x= 2\sqrt{2}, \quad x= -2\sqrt{2} \] --- ## Шаг 4. Анализ знаков second derivative (第二导数) для определения экстремумов Найдем вторую производную \( y'' \): \[ y'' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 16x) = 6x^2 -16 \] Подставим полученные критические точки: 1. В точке \( x=0 \): \[ y''(0) = 6 \cdot 0^2 - 16 = -16 < 0 \] Значит, в точке \( x=0 \) — максимум. 2. В точке \( x=2\sqrt{2} \): \[ y''(2\sqrt{2}) = 6 \cdot (2\sqrt{2})^2 - 16 \] Вычислим \( (2\sqrt{2})^2 \): \[ (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 \] Тогда: \[ y''(2\sqrt{2}) = 6 \cdot 8 - 16 = 48 - 16 = 32 > 0 \] Это — точка минимума. 3. Аналогично для \( x= -2\sqrt{2} \): \[ y''(-2\sqrt{2}) = 6 \cdot 8 - 16 = 32 > 0 \] Это — тоже точка минимума. --- ## Шаг 5. Определение характеров критических точек - В точке \( x=0 \) — максимум. - В точках \( x= \pm 2\sqrt{2} \) — минимумы. --- ## Шаг 6. Построение графика - Основываясь на анализе, функция имеет максимум при \( x=0 \). - Минимумы при \( x= \pm 2\sqrt{2} \). - Функция убывает слева от \( -2\sqrt{2} \), растет между \( -2\sqrt{2} \) и 0, затем снова убывает между 0 и \( 2\sqrt{2} \), и растет после \( 2\sqrt{2} \). --- ## Итоговый вид графика: - Восхождение слева, затем максимум в центре при \( x=0 \). - Далее убывание до минимума при \( x= \pm 2\sqrt{2} \). - После этого увеличение вправо. Для точных значений: \[ x = 2\sqrt{2} \approx 2.83, \quad x= -2\sqrt{2} \approx -2.83 \] - Вначале графика убывает, достигая минимума в точках \( \approx \pm 2.83 \), - В точке \( x=0 \) — максимум. --- Если нужно — могу помочь построить график или более подробно рассмотреть каждую часть. --- Если что-то непонятно — спрашивайте!