Найдите уравнение окружности с центром в точке O(2; - 1) касающейся прямой Y = 4
Давайте решим задачу по шагам.
Задача:
Найти уравнение окружности с центром в точке \( O(2, -1) \), которая касается прямой \( y = 4 \).
Шаг 1. Понимание условий задачи
- Центр окружности: \( O(2, -1) \).
- Окружность касается прямой \( y = 4 \), то есть она должна их касаться (иметь одну общую точку касания).
Шаг 2. Что такое касание окружности и прямой?
Если окружность касается прямой:
- Расстояние от центра окружности до касающейся прямой равно радиусу окружности.
- То есть, радиус \( r \) — это расстояние от точки \( O(2, -1) \) до прямой \( y=4 \).
Шаг 3. Найдём расстояние от центра окружности до прямой
Прямая задана уравнением:
\[ y = 4 \quad \text{или} \quad 0x + 1y - 4 = 0 \]
Общая форма: \( Ax + By + C = 0 \)
Здесь:
\[ A = 0, \quad B = 1, \quad C = -4 \]
Расстояние от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой:
\[ d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]
Подставим:
\[ x_0 = 2, \quad y_0 = -1 \]
Получим:
\[ d = \frac{|0 \times 2 + 1 \times (-1) - 4|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|-1 - 4|}{1} = \frac{5}{1} = 5 \]
Шаг 4. Радиус окружности
Радиус равен расстоянию от центра до касательной прямой:
\[ r = 5 \]
Шаг 5. Написание уравнения окружности
Общее уравнение окружности с центром \( (x_0, y_0) \) и радиусом \( r \):
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]
Подставим \( x_0=2 \), \( y_0=-1 \), \( r=5 \):
\[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25 \]
Ответ:
\[ \boxed{ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25 } \]
Это уравнение окружности с центром в точке \( (2, -1) \), касающейся прямой \( y=4 \).
