Давайте решим задачу по шагам.
Задача:
Найти уравнение окружности с центром в точке ( O(2, -1) ), которая касается прямой ( y = 4 ).
Шаг 1. Понимание условий задачи
- Центр окружности: ( O(2, -1) ).
- Окружность касается прямой ( y = 4 ), то есть она должна их касаться (иметь одну общую точку касания).
Шаг 2. Что такое касание окружности и прямой?
Если окружность касается прямой:
- Расстояние от центра окружности до касающейся прямой равно радиусу окружности.
- То есть, радиус ( r ) — это расстояние от точки ( O(2, -1) ) до прямой ( y=4 ).
Шаг 3. Найдём расстояние от центра окружности до прямой
Прямая задана уравнением:
[
y = 4 \quad \text{или} \quad 0x + 1y - 4 = 0
]
Общая форма: ( Ax + By + C = 0 )
Здесь:
[
A = 0, \quad B = 1, \quad C = -4
]
Расстояние от точки ( (x_0, y_0) ) до прямой:
[
d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
]
Подставим:
[
x_0 = 2, \quad y_0 = -1
]
Получим:
[
d = \frac{|0 \times 2 + 1 \times (-1) - 4|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|-1 - 4|}{1} = \frac{5}{1} = 5
]
Шаг 4. Радиус окружности
Радиус равен расстоянию от центра до касательной прямой:
[
r = 5
]
Шаг 5. Написание уравнения окружности
Общее уравнение окружности с центром ( (x_0, y_0) ) и радиусом ( r ):
[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2
]
Подставим ( x_0=2 ), ( y_0=-1 ), ( r=5 ):
[
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25
]
Ответ:
[
\boxed{
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25
}
]
Это уравнение окружности с центром в точке ( (2, -1) ), касающейся прямой ( y=4 ).
