Давайте решим задачу пошагово, подробно объясняя каждое действие.
Обозначения:
- Пусть второй рабочий за час изготавливает х спиц.
- Тогда первый рабочий за час делает на 15 спиц больше, то есть (х + 15).
Условия задачи:
- Первый рабочий делает за час на 15 спиц больше, чем второй.
- Первый рабочий за 2 часа изготавливает столько же спиц, сколько и второй, который при этом работает дольше, — время, необходимое второму рабочему, чтобы сделать такое же количество спиц, чем первый за эти 2 часа.
Разберем каждое условие по отдельности.
Шаг 1: Запишем выражения для количества спиц, изготовленных за определенное время:
За 2 часа первый рабочий сделает:
( 2 \times (x + 15) ) спиц.
Время, за которое второй рабочий сделает такое же количество спиц, что и первый за 2 часа, обозначим как ( t ) часов.
Тогда за ( t ) часов второй рабочий сделает:
( x \times t ) спиц.
По условию, эти количества равны:
[ 2 \times (x + 15) = x \times t. ]
Шаг 2: Используем ещё одно условие:
- Первый рабочий за 2 часа делает столько же спиц, сколько и второй за ( t ) часов:
Это уже записано в формуле выше, так что у нас есть:
[ 2(x + 15) = x t. ]
Также известно, что второй рабочий за ( t ) часов делает столько же спиц, сколько и первый за 2 часа.
Шаг 3: Найдём выражение для ( t ):
Из уравнения:
[ t = \frac{2(x+15)}{x}. ]
Шаг 4: Используем условие о разнице по времени:
Первый рабочий работает на 2 часа быстрее, чем второй, т.е.:
[ t = 2 + \Delta t, ]
где ( \Delta t ) — разница по времени, равная 2 часа согласно условию ("изготавливает 180 спиц за 2 часа быстрее").
Но из условия "первый изготавливает за 2 часа на 180 спиц больше" — нам это нужно учесть.
Значит, сначала перепишем условие:
Первый рабочий за 2 часа делает 180 спиц.
Это дает нам еще одно выражение:
[ \text{Первый: } 2 \times (x + 15) = 180. ]
Отсюда получим:
[ 2(x + 15) = 180, ]
[ x + 15 = 90, ]
[ x = 75. ]
Шаг 5: Получили значение для второго рабочего:
второй рабочий за час изготавливает ( x = 75 ) спиц.
Проверка:
- Второй рабочий за ( t ) часов делает столько же спиц, сколько первый за 2 часа:
[ 75 \times t = 2 \times (75 + 15) = 2 \times 90 = 180. ]
Значит:
[ 75 t = 180, ]
[ t = \frac{180}{75} = \frac{12}{5} = 2.4 \quad \text{часа}. ]
Время работы второго рабочего, чтобы сделать 180 спиц, равно 2.4 часа.
Первый рабочий за 2 часа делает 180 спиц, а второй за 2.4 часа тоже 180 спиц.
Это соответствует условию, что второй рабочий работает дольше, и результат совпадает.
Итог:
Ответ: Второй рабочий за час изготавливает 75 спиц.
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другой задачей — обращайтесь!
