Построй график функции { 2 x 2 + 6 x + 3 , x ⩾ − 2 x + 2 , x < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 и определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие…

Давайте разберём задачу пошагово. У нас есть функция, заданная кусочно, и нам нужно определить, при каких значениях параметра \(m\) прямая \( y = m \) пересекает график функции ровно в двух точках.

---

Шаг 1: Запишем функцию

Функция задана так: \[ f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 6x + 3, & x \geq -2 \\ x + 2, & x < -2 \end{cases} \]

Это — парабола (в первой части) и прямая (во второй части).

---

Шаг 2: Построение графика каждого участка

• Для \( x \geq -2 \) — график параболы \( y = 2x^2 + 6x + 3 \).
• Для \( x < -2 \) — график прямой \( y = x + 2 \).

Шаг 3: Что значит, что прямая \( y=m \) пересекает график ровно в двух точках?

• Мы ищем такие значения \( m \), при которых уравнение \[ f(x) = m \] имеет ровно два решения.

---

Шаг 4: Анализирую части по отдельности.

4.1. Пересечения с параболой \( y=2x^2+6x+3 \), \( x \geq -2 \).

Решаем уравнение: \[ 2x^2 + 6x + 3 = m \] или \[ 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \]

Дискриминант: \[ D_1 = (6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - m) = 36 - 8 (3 - m) = 36 - 24 +8m = 12 + 8m \]

Количество корней зависит от \( D_1 \):

• Если \( D_1 < 0 \), решений нет.
• Если \( D_1 = 0 \), одно решение (точка касания).
• Если \( D_1 > 0 \), два решения.

Но учитываем только те решения, что удовлетворяют условию \( x \geq -2 \).

---

4.2. Пересечения с линией \( y=m \), \( x < -2 \).

Решаем: \[ x + 2 = m \] или \[ x = m - 2 \]

Это — одно решение, если \( x = m - 2 \) принадлежит области \( x < -2 \), то есть:

\[ m - 2 < -2 \quad \Rightarrow \quad m < 0 \]

Иначе — пересечения нет.

---

Шаг 5: Общий анализ

Чтобы уравнение имело ровно два общих решения с графиком функции:

• Либо одно решение на параболе и одно на прямой — сумма дает 2 решения.
• Либо два решения на параболе и прямая не пересекается с линией вне области.

---

Шаг 6: Рассмотрим случаи.

---

Случай 1: прямая пересекает оба участка.

• На области \( x \geq -2 \): уравнение \( 2x^2 + 6x + (3-m) = 0 \).

  • Количество решений зависит от \( D_1 = 12 + 8m \):

    • Если \( 12 + 8m > 0 \Rightarrow m > -\frac{3}{2} \), то два решения, но нужно проверить, что оба решения — при этом \( x \geq -2 \).

    • Если \( 12 + 8m = 0 \Rightarrow m = -\frac{3}{2} \), одно решение: касание.

    • Если \( 12 + 8m < 0 \Rightarrow m < -\frac{3}{2} \), решений нет.

• На области \( x < -2 \): решение \( x = m - 2 \).

  • Если \( m < 0 \), то это решение входит в область \( x < -2 \) при условии \( m - 2 < -2 \Rightarrow m < 0 \), что совпадает с условием.

---

Шаг 7: Поиск точных значений \( m \)

• Нам нужно ровно два решения уравнения \( f(x) = m \):

  1. Одно решение — на параболе \( x \geq -2 \).
  2. Одно решение — на прямой \( x < -2 \).

Тогда:

• На параболе должно быть одно решение, то есть дискриминант \( D_1 = 0 \Rightarrow m = -\frac{3}{2} \). При этом, если \( m = -\frac{3}{2} \), то:

  \[ D_1 = 0, \quad \text{подтверждает один корень} \]

  и корень:
  \[ x = \frac{-6}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \]

  Проверим условие для области \( x \geq -2 \):

  \[ -\frac{3}{2} \geq -2, \] что верно.

• На области \( x < -2 \):

  \[ x = m - 2 = -\frac{3}{2} - 2 = -\frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{7}{2} = -3.5 \]

  Проверим, что это \( x < -2 \):

  \[ -3.5 < -2, \] верно.

Итак, при \( m = -\frac{3}{2} \) у нас есть ровно две точки пересечения:

• Одна — точка касания для параболы.
• Вторая — точка пересечения линии \( y=m \) с прямой \( x = m - 2 \).

---

Ответ:

Прямая \( y = m \) пересекает график функции ровно в двух точках, если и только если:

\[ \boxed{ m = -\frac{3}{2} } \]

---

Если нужно более подробно или есть дополнительные вопросы — обращайтесь!