Построй график функции  { 2 x 2 + 6 x + 3 , x ⩾ − 2 x + 2 , x < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 и определи, при каких значениях  m m прямая  y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Давайте разберём задачу пошагово. У нас есть функция, заданная кусочно, и нам нужно определить, при каких значениях параметра \(m\) прямая \( y = m \) пересекает график функции ровно в двух точках. --- ### Шаг 1: Запишем функцию Функция задана так: \[ f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 6x + 3, & x \geq -2 \\ x + 2, & x < -2 \end{cases} \] Это — парабола (в первой части) и прямая (во второй части). --- ### Шаг 2: Построение графика каждого участка - **Для \( x \geq -2 \)** — график параболы \( y = 2x^2 + 6x + 3 \). - **Для \( x < -2 \)** — график прямой \( y = x + 2 \). ### Шаг 3: Что значит, что прямая \( y=m \) пересекает график ровно в двух точках? - Мы ищем такие значения \( m \), при которых уравнение \[ f(x) = m \] имеет ровно два решения. --- ### Шаг 4: Анализирую части по отдельности. #### 4.1. Пересечения с параболой \( y=2x^2+6x+3 \), \( x \geq -2 \). Решаем уравнение: \[ 2x^2 + 6x + 3 = m \] или \[ 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \] Дискриминант: \[ D_1 = (6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - m) = 36 - 8 (3 - m) = 36 - 24 +8m = 12 + 8m \] Количество корней зависит от \( D_1 \): - Если \( D_1 < 0 \), решений нет. - Если \( D_1 = 0 \), одно решение (точка касания). - Если \( D_1 > 0 \), два решения. Но учитываем только те решения, что удовлетворяют условию \( x \geq -2 \). --- #### 4.2. Пересечения с линией \( y=m \), \( x < -2 \). Решаем: \[ x + 2 = m \] или \[ x = m - 2 \] Это — одно решение, **если** \( x = m - 2 \) принадлежит области \( x < -2 \), то есть: \[ m - 2 < -2 \quad \Rightarrow \quad m < 0 \] Иначе — пересечения нет. --- ### Шаг 5: Общий анализ Чтобы уравнение имело ровно два общих решения с графиком функции: - Либо **одно решение на параболе** и **одно на прямой** — сумма дает 2 решения. - Либо **два решения на параболе** и **прямая не пересекается** с линией вне области. --- ### Шаг 6: Рассмотрим случаи. --- #### **Случай 1:** прямая пересекает оба участка. - **На области \( x \geq -2 \):** уравнение \( 2x^2 + 6x + (3-m) = 0 \). - Количество решений зависит от \( D_1 = 12 + 8m \): - Если \( 12 + 8m > 0 \Rightarrow m > -\frac{3}{2} \), то два решения, но нужно проверить, что оба решения — при этом \( x \geq -2 \). - Если \( 12 + 8m = 0 \Rightarrow m = -\frac{3}{2} \), одно решение: касание. - Если \( 12 + 8m < 0 \Rightarrow m < -\frac{3}{2} \), решений нет. - **На области \( x < -2 \):** решение \( x = m - 2 \). - Если \( m < 0 \), то это решение входит в область \( x < -2 \) при условии \( m - 2 < -2 \Rightarrow m < 0 \), что совпадает с условием. --- ### Шаг 7: Поиск точных значений \( m \) - Нам нужно **ровно два** решения уравнения \( f(x) = m \): 1. Одно решение — на параболе \( x \geq -2 \). 2. Одно решение — на прямой \( x < -2 \). Тогда: - **На параболе** должно быть **одно решение**, то есть дискриминант \( D_1 = 0 \Rightarrow m = -\frac{3}{2} \). При этом, если \( m = -\frac{3}{2} \), то: \[ D_1 = 0, \quad \text{подтверждает один корень} \] и корень: \[ x = \frac{-6}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \] Проверим условие для области \( x \geq -2 \): \[ -\frac{3}{2} \geq -2, \] что верно. - На области \( x < -2 \): \[ x = m - 2 = -\frac{3}{2} - 2 = -\frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{7}{2} = -3.5 \] Проверим, что это \( x < -2 \): \[ -3.5 < -2, \] верно. Итак, при \( m = -\frac{3}{2} \) у нас есть ровно две точки пересечения: - Одна — точка касания для параболы. - Вторая — точка пересечения линии \( y=m \) с прямой \( x = m - 2 \). --- ### **Ответ:** **Прямая \( y = m \) пересекает график функции ровно в двух точках, если и только если:** \[ \boxed{ m = -\frac{3}{2} } \] --- Если нужно более подробно или есть дополнительные вопросы — обращайтесь!