реши билет

Для решения этого билета рассмотрим каждый вопрос по порядку.

1. Дать определение чётной и нечётной тригонометрической функции

• Чётная функция — это такая функция, для которой выполняется равенство:
  \[ f(-x) = f(x) \]
• Нечётная функция — это такая функция, для которой выполняется равенство:
  \[ f(-x) = -f(x) \]

Для тригонометрических функций:

• Косинус — это чётная функция:
  \[ \cos(-x) = \cos x \]
• Синус — это нечётная функция:
  \[ \sin(-x) = -\sin x \]
• Тангенс — нечётная:
  \[ \tan(-x) = -\tan x \]

2. Построить график, изображённый на рисунке, на промежутке \([-3T; 2T]\)

Задача требует построения графика тригонометрической функции. Без конкретного рисунка, предположим, что речь идет о стандартных функциях: например, \(\sin x\) или \(\cos x\).

Если бы это был график \(\sin x\), то он проходит через начало (0,0), имеет период \(2\pi\), амплитуду 1. На промежутке \([-3T, 2T]\), где \(T\) — период функции, г граница по оси \(x\).

Поскольку точнее указаний нет, предполагаем, что построение основывается на стандартных свойствах тригонометрической функции.

3. Записать четыре формулы суммы и разности синусов и косинусов

• Сумма синусов: \[ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \]

• Разность синусов: \[ \sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \]

• Сумма косинусов: \[ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \]

• Разность косинусов: \[ \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \]

4. Выразить в радианной и градусной мере величины углов:

a) \(60^\circ, 150^\circ, 36^\circ, 310^\circ\)

• В радонах:
  \[ 60^\circ = \frac{\pi}{3}, \quad 150^\circ = \frac{5\pi}{6}, \quad 36^\circ = \frac{\pi}{5}, \quad 310^\circ = \frac{31\pi}{18} \]

b) В радианах: \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{7\pi}{12}\), \(\frac{3\pi}{4}\)

Эти радианы уже даны.

5. Упростить выражение:

a) \(\cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha\)

Рассмотрим по частям:

• \(\cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha = \cos^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha) = \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha\)

• Тогда, выражение становится:

  \[ \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha \]

• Вынесем \(\sin^2 \alpha\):

  \[ \sin^2 \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \sin^2 \alpha \cdot 1 = \sin^2 \alpha \]

Ответ: \(\sin^2 \alpha\)

б) \(\frac{2 \sin \beta}{\cos (\alpha - \beta)} = \frac{\sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha - \beta)}\)

Используем формулы синуса разности и суммы:

\[ \sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) = 2 \cos \alpha \sin \beta \]

Значит, исходное выражение равно:

\[ \frac{2 \sin \beta}{\cos (\alpha - \beta)} = \frac{2 \cos \alpha \sin \beta}{\cos (\alpha - \beta)} \]

Тут, можно оставить как есть либо упростить, если далее потребуется.

Это основные шаги решения. Если нужен более детальный разбор или помощь с построением графиков — уточняйте!