В равнобедренную трапецию вписана окружность. Найди радиус этой окружности, если основания трапеции равны 15 см и 24 см.
Давайте подробно разберём задачу: в равнобедренную трапецию вписана окружность, и нужно найти радиус окружности, если основания трапеции равны 15 см и 24 см.
Шаг 1. Что означает вписанная окружность в трапецию?
Если в трапецию вписана окружность, то она касаются всех четырёх сторон. Это возможно только в типа трапеции, которая обладает свойством, называемым вписываемая (особенность) окружность, и в равнобедренной трапеции она реализуется при условии, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.
Условие:
\[ a + d = b + c \]
где \(a, b\) — основания, \(c, d\) — боковые стороны.
Шаг 2. Выделим данные и предположения
- Основания: \(AB = 15\,\text{см}\), \(DC = 24\,\text{см}\)
- трапеция равнобедренная.
- Вписана окружность.
Значит, равенство сторон:
\[ AB + DC = BC + AD \]
Обозначим боковые стороны как \(BC = AD = x\).
Тогда:
\[ 15 + 24 = x + x \]
\[ 39 = 2x \]
\[ x = 19.5\,\text{см} \]
Так как боковые стороны равны и основание 15 см, 24 см, то боковые стороны равны 19,5 см.
Шаг 3. Построение и определение радиуса
Теперь, чтобы найти радиус окружности, вписанной в трапецию, используем формулу для радиуса \( r \) вписанной окружности в трапецию:
\[ r = \frac{S}{p} \]
где:
- \( S \) — площадь трапеции,
- \( p \) — полупериметр,
или, в случае трапеции с вписанной окружностью, существует более удобная формула через её стороны и высоту.
Шаг 4. Построим высоту трапеции и найдём её
Пусть высота — \(h\).
В трапеции, где боковые стороны равны и основание меньше другого, высота определяется по фигуре.
Обозначим:
- нижнее основание \(DC = 24\,\text{см}\),
- верхнее \(AB = 15\,\text{см}\).
Чтобы найти \(h\), проведем высоту из вершины \(A\) к основанию \(DC\), опустив перпендикуляр \(AH\).
Шаг 5. Вершина трапеции и разметка
- Расстояние между основаниями по горизонтали равно разнице их длин: \(24 - 15 = 9\,\text{см}\).
- Поскольку трапеция равнобедренная, то расстояние по горизонтали от центра основания до боковой стороны — это \( \frac{(24 - 15)}{2} = 4.5\,\textсм}\).
Расстояние по горизонтали: 4.5 см.
Используем свойства прямоугольного треугольника:
\[ h = \sqrt{(19.5)^2 - (4.5)^2} \]
Вычислим:
\[ h = \sqrt{19.5^2 - 4.5^2} = \sqrt{380.25 - 20.25} = \sqrt{360} \approx 18.97\,\textсм} \]
Шаг 6. Площадь трапеции
Площадь:
\[ S = \frac{(a + d)}{2} \times h = \frac{15 + 24}{2} \times 18.97 = \frac{39}{2} \times 18.97 \approx 19.5 \times 18.97 \approx 370.2\, \text{см}^2 \]
Шаг 7. Полупериметр
Полупериметр трапеции:
\[ p = \frac{a + b + c + d}{2} = \frac{15 + 24 + 19.5 + 19.5}{2} = \frac{78}{2} = 39\, \textсм} \]
Шаг 8. Радиус вписанной окружности
Радиус окружности, вписанной в трапецию, вычисляется по формуле:
\[ r = \frac{S}{p} = \frac{370.2}{39} \approx 9.5\, \textсм} \]
Итог:
Радиус вписанной окружности равен примерно 9.5 см.
Если есть вопросы или нужно более точное объяснение — обращайтесь!
