В равнобедренную трапецию вписана окружность. Найди радиус этой окружности, если основания трапеции равны 15 см и 24 см.

Давайте подробно разберём задачу: в равнобедренную трапецию вписана окружность, и нужно найти радиус окружности, если основания трапеции равны 15 см и 24 см. ### Шаг 1. Что означает вписанная окружность в трапецию? Если в трапецию вписана окружность, то она касаются всех четырёх сторон. Это возможно только в **типа трапеции**, которая обладает свойством, называемым **вписываемая (особенность) окружность**, и в равнобедренной трапеции она реализуется при условии, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. **Условие:** \[ a + d = b + c \] где \(a, b\) — основания, \(c, d\) — боковые стороны. --- ### Шаг 2. Выделим данные и предположения - Основания: \(AB = 15\,\text{см}\), \(DC = 24\,\text{см}\) - трапеция равнобедренная. - Вписана окружность. Значит, равенство сторон: \[ AB + DC = BC + AD \] Обозначим боковые стороны как \(BC = AD = x\). Тогда: \[ 15 + 24 = x + x \] \[ 39 = 2x \] \[ x = 19.5\,\text{см} \] Так как боковые стороны равны и основание 15 см, 24 см, то боковые стороны равны 19,5 см. --- ### Шаг 3. Построение и определение радиуса Теперь, чтобы найти радиус окружности, вписанной в трапецию, используем формулу для радиуса \( r \) вписанной окружности в трапецию: \[ r = \frac{S}{p} \] где: - \( S \) — площадь трапеции, - \( p \) — полупериметр, или, в случае трапеции с вписанной окружностью, существует более удобная формула через её стороны и высоту. --- ### Шаг 4. Построим высоту трапеции и найдём её Пусть высота — \(h\). В трапеции, где боковые стороны равны и основание меньше другого, высота определяется по фигуре. Обозначим: - нижнее основание \(DC = 24\,\text{см}\), - верхнее \(AB = 15\,\text{см}\). Чтобы найти \(h\), проведем высоту из вершины \(A\) к основанию \(DC\), опустив перпендикуляр \(AH\). --- ### Шаг 5. Вершина трапеции и разметка - Расстояние между основаниями по горизонтали равно разнице их длин: \(24 - 15 = 9\,\text{см}\). - Поскольку трапеция равнобедренная, то расстояние по горизонтали от центра основания до боковой стороны — это \( \frac{(24 - 15)}{2} = 4.5\,\textсм}\). Расстояние по горизонтали: 4.5 см. Используем свойства прямоугольного треугольника: \[ h = \sqrt{(19.5)^2 - (4.5)^2} \] Вычислим: \[ h = \sqrt{19.5^2 - 4.5^2} = \sqrt{380.25 - 20.25} = \sqrt{360} \approx 18.97\,\textсм} \] --- ### Шаг 6. Площадь трапеции Площадь: \[ S = \frac{(a + d)}{2} \times h = \frac{15 + 24}{2} \times 18.97 = \frac{39}{2} \times 18.97 \approx 19.5 \times 18.97 \approx 370.2\, \text{см}^2 \] --- ### Шаг 7. Полупериметр Полупериметр трапеции: \[ p = \frac{a + b + c + d}{2} = \frac{15 + 24 + 19.5 + 19.5}{2} = \frac{78}{2} = 39\, \textсм} \] --- ### Шаг 8. Радиус вписанной окружности Радиус окружности, вписанной в трапецию, вычисляется по формуле: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{370.2}{39} \approx 9.5\, \textсм} \] --- ## Итог: **Радиус вписанной окружности равен примерно 9.5 см.** Если есть вопросы или нужно более точное объяснение — обращайтесь!