Реши уравнение 9 x 2 + 24 x + 16 = ( x − 2 ) 2
Рассмотрим данное уравнение:
\[ 9x^2 + 24x + 16 = (x - 2)^2 \]
Цель — понять, как решить это уравнение.
Шаг 1. Раскроем скобки справа
Распишем квадрат бинома:
\[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \]
Теперь уравнение выглядит так:
\[ 9x^2 + 24x + 16 = x^2 - 4x + 4 \]
Шаг 2. Перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы уравнение было равно нулю
Вычтем правую часть из обеих частей:
\[ 9x^2 + 24x + 16 - (x^2 - 4x + 4) = 0 \]
Раскроем скобки и упростим:
\[ 9x^2 + 24x + 16 - x^2 + 4x - 4 = 0 \]
Объединим похожие слагаемые:
\[ (9x^2 - x^2) + (24x + 4x) + (16 - 4) = 0 \]
\[ 8x^2 + 28x + 12 = 0 \]
Шаг 3. Упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 4
\[ 2x^2 + 7x + 3 = 0 \]
Теперь у нас квадратичное уравнение в стандартной форме.
Шаг 4. Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней
Формула:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь:
- \( a = 2 \)
- \( b = 7 \)
- \( c = 3 \)
Подставим в формулу:
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \times 2 \times 3}}{2 \times 2} \]
Вычислим дискриминант:
\[ D = 7^2 - 4 \times 2 \times 3 = 49 - 24 = 25 \]
Поскольку дискриминант положительный, решений два.
Теперь найдём корни:
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{4} \]
\[ x = \frac{-7 \pm 5}{4} \]
- При использовании "+":
\[ x = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]
- При использовании "−":
\[ x = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \]
Ответ:
\[ \boxed{ x = -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x = -3 } \]
Если нужно, я могу подробнее объяснить любой из шагов или проверить решение.
