решить систему тремя способами: подстановки, сложения,линейные неравенства с двумя переменными и их системы 3x-y-1=0 2x+y-4=0
Рассмотрим систему уравнений:
\[ \begin{cases} 3x - y - 1 = 0 \quad \text{(1)} \\ 2x + y - 4 = 0 \quad \text{(2)} \end{cases} \]
Способ 1: Решение методом подстановки
- Выразим \( y \) из уравнения (2):
\[ 2x + y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4 - 2x \]
- Подставим это выражение для \( y \) в уравнение (1):
\[ 3x - (4 - 2x) - 1 = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ 3x - 4 + 2x - 1 = 0 \]
Объединим подобные слагаемые:
\[ (3x + 2x) - (4 + 1) = 0 \Rightarrow 5x - 5 = 0 \]
- Решим уравнение по \( x \):
\[ 5x = 5 \Rightarrow x = 1 \]
- Подставим значение \( x = 1 \) обратно в выражение для \( y \):
\[ y = 4 - 2 \times 1 = 4 - 2 = 2 \]
Ответ: \( \boxed{x=1, y=2} \)
Способ 2: Решение методом сложения (сложение уравнений)
- Запишем исходные уравнения:
\[ \begin{cases} 3x - y = 1 \quad \text{(1')} \\ 2x + y = 4 \quad \text{(2')} \end{cases} \]
(заменили знаки, чтобы было проще)
- Ск addition уравнений (слоение уравнений):
\[ (3x - y) + (2x + y) = 1 + 4 \]
Объединяем левую часть:
\[ 3x + 2x + (-y + y) = 5 \]
\[ 5x + 0 = 5 \]
Решим:
\[ 5x = 5 \Rightarrow x = 1 \]
- Подставим \( x=1 \) обратно в одно из исходных уравнений (например, в уравнение (2')):
\[ 2 \times 1 + y = 4 \Rightarrow 2 + y = 4 \Rightarrow y = 2 \]
Ответ: \( \boxed{x=1, y=2} \)
Способ 3: Решение через графическое представление (линейные неравенства и их системы)
Здесь уравнения — это линии на координатной плоскости. Построим их:
- Для уравнения \( 3x - y = 1 \):
\[ y = 3x - 1 \]
- Для уравнения \( 2x + y = 4 \):
\[ y = 4 - 2x \]
Чтобы найти точку пересечения, можем подставить выражение из второго уравнения в первое:
\[ 3x - 1 = 4 - 2x \]
Решим:
\[ 3x + 2x = 4 + 1 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x=1 \]
Подставим \( x=1 \) обратно:
\[ y= 4 - 2 \times 1 = 2 \]
Точка пересечения — \( (1, 2) \).
Отметим, что это и есть решение системы.
