Рассмотрим систему уравнений:
[
\begin{cases}
3x - y - 1 = 0 \quad \text{(1)} \
2x + y - 4 = 0 \quad \text{(2)}
\end{cases}
]
Способ 1: Решение методом подстановки
- Выразим ( y ) из уравнения (2):
[
2x + y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4 - 2x
]
- Подставим это выражение для ( y ) в уравнение (1):
[
3x - (4 - 2x) - 1 = 0
]
Раскроем скобки:
[
3x - 4 + 2x - 1 = 0
]
Объединим подобные слагаемые:
[
(3x + 2x) - (4 + 1) = 0 \Rightarrow 5x - 5 = 0
]
- Решим уравнение по ( x ):
[
5x = 5 \Rightarrow x = 1
]
- Подставим значение ( x = 1 ) обратно в выражение для ( y ):
[
y = 4 - 2 \times 1 = 4 - 2 = 2
]
Ответ: ( \boxed{x=1, y=2} )
Способ 2: Решение методом сложения (сложение уравнений)
- Запишем исходные уравнения:
[
\begin{cases}
3x - y = 1 \quad \text{(1')} \
2x + y = 4 \quad \text{(2')}
\end{cases}
]
(заменили знаки, чтобы было проще)
- Ск addition уравнений (слоение уравнений):
[
(3x - y) + (2x + y) = 1 + 4
]
Объединяем левую часть:
[
3x + 2x + (-y + y) = 5
]
[
5x + 0 = 5
]
Решим:
[
5x = 5 \Rightarrow x = 1
]
- Подставим ( x=1 ) обратно в одно из исходных уравнений (например, в уравнение (2')):
[
2 \times 1 + y = 4 \Rightarrow 2 + y = 4 \Rightarrow y = 2
]
Ответ: ( \boxed{x=1, y=2} )
Способ 3: Решение через графическое представление (линейные неравенства и их системы)
Здесь уравнения — это линии на координатной плоскости. Построим их:
- Для уравнения ( 3x - y = 1 ):
[
y = 3x - 1
]
- Для уравнения ( 2x + y = 4 ):
[
y = 4 - 2x
]
Чтобы найти точку пересечения, можем подставить выражение из второго уравнения в первое:
[
3x - 1 = 4 - 2x
]
Решим:
[
3x + 2x = 4 + 1 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x=1
]
Подставим ( x=1 ) обратно:
[
y= 4 - 2 \times 1 = 2
]
Точка пересечения — ( (1, 2) ).
Отметим, что это и есть решение системы.
Итог: решение системы уравнений даёт точку (\boxed{(1, 2)}). Это — единственная точка, где графики линий пересекаются, и это и есть искомое решение системы.
