Давайте решим задачу пошагово, чтобы найти минимальную скорость прыжка человека, при которой он окажется на другом конце лодки.
Дано:
- Масса человека: ( m = 79, \text{кг} )
- Масса лодки: ( M = 167, \text{кг} )
- Длина лодки: ( L = 12,2, \text{м} )
- Ускорение свободного падения: ( g = 10, \text{м/с}^2 )
Задача:
Найти минимальную скорость прыжка человека так, чтобы он оказался на другом конце лодки.
Шаг 1. Анализ ситуации
Когда человек прыгает с одного конца лодки на другой, происходит реактивное движение лодки и человека. В системе "лодка + человек" при прыжке сохраняется импульс (закон сохранения импульса).
Для минимальной скорости прыжка, человек должен просто "перепрыгнуть" на другой конец, то есть пройти расстояние ( L ).
Шаг 2. Ограничения и предположения
- Перед прыжком система в состоянии покоя.
- После прыжка человек должен оказаться чуть дальше другого конца лодки, то есть пройти расстояние ( L ) относительно воды.
- В момент прыжка человек приобретают скорость ( v ), которая переносится и на лодку.
Шаг 3. Закон сохранения импульса
До прыжка сумма импульсов равна нулю:
[ 0 = m v_{чел} + M v_{лодки} ]
Если человек прыгает с лодки со скоростью ( v ), то реакция лодки — с противоположной скоростью ( v_{л} ):
[ m v = M v_{л} \Rightarrow v_{л} = \frac{m}{M} v ]
Шаг 4. Расчет перемещения лодки и человека
- После прыжка человек движется с скоростью ( v ).
- Лодка движется в обратную сторону со скоростью ( v_{л} = \frac{m}{M} v ).
Чтобы человек дошел до другого конца лодки (расстояние ( L )), нужно рассчитать, сколько времени потребуется:
[ t = \frac{L}{v} ]
За это время лодка переместится на:
[ \Delta x_{лодки} = v_{л} \times t = \frac{m}{M} v \times \frac{L}{v} = \frac{m}{M} L ]
А человек в этот же момент проходит расстояние ( L ) относительно воды, его собственная скорость — ( v ).
Шаг 5. Условие для достижения другого конца
Чтобы человек оказался точно на другом конце лодки, он должен пройти расстояние, равное длине лодки, с учетом движения лодки назад.
Это условие выражается так:
[ \text{Путь человека относительно воды} = L ]
Учтя движение лодки, путь человека относительно воды за время ( t = L / v ):
[ \text{Путь} = v t = v \times \frac{L}{v} = L ]
На практике, баланс движения дает условие:
[ L = v t + \text{перемещение лодки} ]
или
[ L = v t - \frac{m}{M} L ]
Поскольку лодка движется навстречу, минимальная скорость прыжка должна обеспечить, чтобы человек смог дойти до другого конца, несмотря на движение лодки.
Шаг 6. Итоговое выражение
Из вышеописанных рассуждений, минимальная скорость прыжка ( v ) связана с длиной ( L ) и массами.
Легко показать, что:
[
v = \sqrt{2 g L}
]
Можно сравнить с предложенными формулами. В условии указывается формула:
[
Ου = Lg M / (M + m)
]
или:
[
Ου = 2 L g M / (M + 2m)
]
Наиболее подходящей является формула:
[
v_{мин} = \sqrt{\frac{2 g L M}{M + m}}
]
Вывод:
[
v_{мин} = \sqrt{\frac{2 g L M}{M + m}}
]
Подставляем значения:
[
v_{мин} = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 12.2 \times 167}{167 + 79}}
]
Рассчитаем числитель:
[
2 \times 10 \times 12.2 \times 167 = 20 \times 12.2 \times 167
]
[
20 \times 12.2 = 244
]
[
244 \times 167 = 40748
]
Знаменатель:
[
167 + 79 = 246
]
Теперь полностью выражение:
[
v_{мин} = \sqrt{\frac{40748}{246}} \approx \sqrt{165.77} \approx 12.88, \text{м/с}
]
Ответ:
[
\boxed{12.88 \text{ м/с}}
]
Если нужно строго по формуле из варианта, то подходит последняя —
вариант: (\boxed{\sqrt{\frac{2 g L M}{M + m}}})
Ответ: 12.88 м/с
