реши билет подробно
Давайте подробно решим каждый пункт вашего билета.
1. Дать свойство построения графиков чётных и нечётных функций (тригонометрические).
Ответ:
Чётная функция: для любой \( x \) в области определения выполняется условие
\[ f(-x) = f(x) \].
График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси \( y \)).Нечётная функция: для любой \( x \) в области определения выполняется условие
\[ f(-x) = -f(x) \].
График такой функции симметричен относительно начала координат.
Пример:
- \( \cos x \) — чётная функция, так как \( \cos(-x) = \cos x \).
- \( \sin x \) — нечётная функция, так как \( \sin(-x) = -\sin x \).
2. Построение графиков функции:
a) \( D(f) = [-3;3], \quad E(f) = [-2;2] \)
b) \( D(f) = [-3;5], \quad E(f) = [-1;5] \)
Здесь \( D(f) \) — область определения, \( E(f) \) — область значения.
Общее правило:
Для построения графика нужно выбрать несколько точек из области определения, найти их значения и провести график.
3. Запишите 5 формул половинного аргумента.
Формулы половинных преобразований тригонометрических функций:
- \(\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}\)
- \(\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}\)
- \(\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}\)
- \(\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}\)
- \(\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}\)
4. Решение уравнений:
a) \(\sqrt[4]{x} = 3 \)
b) \(\sqrt[4]{x} = -1 \)
c) \(x^3 + 4 = 0\)
d) \(0.02 x^6 - 1.28 = 0\)
Решения:
a) \(\sqrt[4]{x} = 3\)
- Возводим обе части к четвертой степени:
\[ x = 3^4 = 81 \]
Проверка: \(\sqrt[4]{81} = 3 \) — верно.
Ответ: \( x = 81 \).
b) \(\sqrt[4]{x} = -1 \)
- Четвертая корень из числа не может быть отрицательным, так как четные корни всегда неотрицательны.
- Поэтому, решений нет.
Ответ: нет решений.
c) \( x^3 + 4 = 0 \)
\( x^3 = -4 \)
\( x = \sqrt[3]{-4} = -\sqrt[3]{4} \)
Ответ: \( x = -\sqrt[3]{4} \).
d) \( 0.02 x^6 - 1.28 = 0 \)
\( 0.02 x^6 = 1.28 \)
\( x^6 = \frac{1.28}{0.02} = 64 \)
\( x^6 = 64 \)
\( x = \pm \sqrt[6]{64} \)
Заметим, что \( 64 = 2^6 \), следовательно
\( x = \pm 2 \)
Ответ: \( x = \pm 2 \).
5. Вычислите:
а) \(\lg 8 + \lg 125\)
б) \(\log_7 - \log_{ \frac{7}{16} }\)
в) \(\lg 8 + \lg 19\)
г) \( \frac{\lg 8 + \lg 118}{2 \lg 2 + \lg 3} \)
д) \( \log_{9} 2 - 2 \log_{3} 10 \)
Решение:
а) \(\lg 8 + \lg 125 = \lg (8 \cdot 125) = \lg (1000) = 3\)
(так как \(8 \times 125 = 1000\))
б) \(\log_7 - \log_{ \frac{7}{16} }\)
Здесь, скорее всего, ошибка в записи, так как логарифм без основания — это обычно \(\lg\) или \(\log_{a}\). Предположим, что нужно найти разность логарифмов \(\lg 7 - \lg \left(\frac{7}{16}\right)\), так как логарифм по основанию 7 — не очень логично.
Если так:
\(\lg 7 - \lg \left(\frac{7}{16}\right) = \lg \left(\frac{7}{\frac{7}{16}}\right) = \lg 16 = 4 \).
(так как \(\frac{7}{(7/16)}=16\))
Ответ: 4.
в) \(\lg 8 + \lg 19 = \lg (8 \times 19) = \lg 152\).
Ответ: \(\lg 152\).
г)
\[ \frac{\lg 8 + \lg 118}{2 \lg 2 + \lg 3} = \frac{\lg (8 \times 118)}{\lg 2^2 + \lg 3} = \frac{\lg 944}{\lg 4 + \lg 3} \]
- \(\lg 944\),
- \(\lg 4 + \lg 3 = \lg (4 \times 3) = \lg 12 \).
Итак,
\[ \frac{\lg 944}{\lg 12} \]
Более точно можно оставить так.
д)
\[ \lg_{9} 2 - 2 \lg 3 \]
Перепишем в базисае логарифмов:
\(\lg_{9} 2 = \frac{\lg 2}{\lg 9} = \frac{\lg 2}{2 \lg 3} \).
Теперь
\[ \frac{\lg 2}{2 \lg 3} - 2 \lg 3 \]
Общий знаменатель: \(2 \lg 3\).
Перепишем:
\[ \frac{\lg 2}{2 \lg 3} - \frac{2 \lg 3 \times 2 \lg 3}{2 \lg 3} = \frac{\lg 2 - 4 (\lg 3)^2}{2 \lg 3} \]
Ответ: это выражение в более простом виде. Можно оставить так или вычислить числово.
Это основные решения по билету. Если нужно подробнее по какому-то пункту — скажите!
