Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет
Давайте решим задачу поэтапно.
Дано:
- Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого.
- Разность гипотенузы (гипотенуза — \(c\)) и меньшего катета (\(a\)) равна 15 см.
Обозначим:
- Меньший катет — \(a\),
- Больший катет — \(b\),
- Гипотензу — \(c\).
Шаг 1. Связь между острыми углами
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, и эти углы дополнительно связаны через стороны.
Обозначим:
- угол напротив меньшего катета \(a\) — \(\alpha\),
- угол напротив большего катета \(b\) — \(\beta\).
Т.к. это прямоугольный треугольник, то \(\alpha + \beta = 90^\circ\).
Дано, что один острый угол — в 2 раза меньше другого: \[ \alpha = \frac{1}{2}\beta. \] Так как \(\alpha + \beta = 90^\circ\), получаем: \[ \frac{1}{2}\beta + \beta = 90^\circ, \] \[ \frac{3}{2}\beta = 90^\circ, \] \[ \beta = \frac{90^\circ \times 2}{3} = 60^\circ, \] а \[ \alpha = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ. \]
Итак:
- острый угол \(\alpha = 30^\circ\) (против меньшего катета \(a\)),
- острый угол \(\beta = 60^\circ\) (против большего катета \(b\)).
Шаг 2. Связь сторон с углами
Для треугольника со сторонами \(a, b, c\):
\[ a = c \sin \alpha, \] \[ b = c \sin \beta. \]
или через косинус — не обязательно, достаточно синусов, так как стороны катетов — это амплитуда прилежащая и противолежащая сторонами.
Подставляем \(\alpha = 30^\circ\) и \(\beta = 60^\circ\):
\[ a = c \sin 30^\circ = c \times \frac{1}{2} = \frac{c}{2}, \] \[ b = c \sin 60^\circ = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} c. \]
Шаг 3. Используем условие о разности гипотенузы и меньшего катета
Дано:
\[ c - a = 15\, \text{см}. \]
Подставляем \(a = \frac{c}{2}\):
\[ c - \frac{c}{2} = 15, \] \[ \frac{c}{2} = 15, \] \[ c = 30\, \text{см}. \]
Теперь находим \(a\):
\[ a = \frac{c}{2} = \frac{30}{2} = 15\, \text{см}. \]
Шаг 4. Находим меньший катет \(a\) и гипотенузу \(c\)
Из выше полученного:
\[ a = 15\, \text{см}, \] \[ c = 30\, \text{см}. \]
Чтобы найти больший катет \(b\):
\[ b = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 30 = 15 \sqrt{3} \approx 15 \times 1.732 = 25.98\, \text{см}. \]
Ответ:
- Гипотенуза: \(c = 30\) см,
- Меньший катет: \(a = 15\) см.
Если нужно, можно оставить ответ в виде с корнем:
Меньший катет — 15 см, гипотенуза — 30 см.
