Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет

Давайте решим задачу поэтапно. **Дано:** - Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого. - Разность гипотенузы (гипотенуза — \(c\)) и меньшего катета (\(a\)) равна 15 см. Обозначим: - Меньший катет — \(a\), - Больший катет — \(b\), - Гипотензу — \(c\). --- ### Шаг 1. Связь между острыми углами В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, и эти углы дополнительно связаны через стороны. Обозначим: - угол напротив меньшего катета \(a\) — \(\alpha\), - угол напротив большего катета \(b\) — \(\beta\). Т.к. это прямоугольный треугольник, то \(\alpha + \beta = 90^\circ\). Дано, что один острый угол — в 2 раза меньше другого: \[ \alpha = \frac{1}{2}\beta. \] Так как \(\alpha + \beta = 90^\circ\), получаем: \[ \frac{1}{2}\beta + \beta = 90^\circ, \] \[ \frac{3}{2}\beta = 90^\circ, \] \[ \beta = \frac{90^\circ \times 2}{3} = 60^\circ, \] а \[ \alpha = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ. \] **Итак:** - острый угол \(\alpha = 30^\circ\) (против меньшего катета \(a\)), - острый угол \(\beta = 60^\circ\) (против большего катета \(b\)). --- ### Шаг 2. Связь сторон с углами Для треугольника со сторонами \(a, b, c\): \[ a = c \sin \alpha, \] \[ b = c \sin \beta. \] или через косинус — не обязательно, достаточно синусов, так как стороны катетов — это амплитуда прилежащая и противолежащая сторонами. Подставляем \(\alpha = 30^\circ\) и \(\beta = 60^\circ\): \[ a = c \sin 30^\circ = c \times \frac{1}{2} = \frac{c}{2}, \] \[ b = c \sin 60^\circ = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} c. \] --- ### Шаг 3. Используем условие о разности гипотенузы и меньшего катета Дано: \[ c - a = 15\, \text{см}. \] Подставляем \(a = \frac{c}{2}\): \[ c - \frac{c}{2} = 15, \] \[ \frac{c}{2} = 15, \] \[ c = 30\, \text{см}. \] Теперь находим \(a\): \[ a = \frac{c}{2} = \frac{30}{2} = 15\, \text{см}. \] --- ### Шаг 4. Находим меньший катет \(a\) и гипотенузу \(c\) Из выше полученного: \[ a = 15\, \text{см}, \] \[ c = 30\, \text{см}. \] Чтобы найти больший катет \(b\): \[ b = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 30 = 15 \sqrt{3} \approx 15 \times 1.732 = 25.98\, \text{см}. \] --- ### **Ответ:** - **Гипотенуза:** \(c = 30\) см, - **Меньший катет:** \(a = 15\) см. Если нужно, можно оставить ответ в виде с корнем: **Меньший катет — 15 см, гипотенуза — 30 см.**