Давайте подробно решим задачу.
Дано:
- Расстояние против течения: 27 км
- Расстояние по течению: 14 км
- Общее время движения: 11 часов
- Скорость течения реки: 2 км/ч
- Нужно найти собственную скорость баржи: обозначим её ( v ) (км/ч).
Шаг 1. Определяем скорости движения
- Против течения: скорость баржи относительно земли = ( v - 2 ) км/ч
- По течению: скорость баржи относительно земли = ( v + 2 ) км/ч
Шаг 2. Записываем выражения для времени
- Время для движения против течения:
[
t_{против} = \frac{27}{v - 2}
]
- Время для движения по течению:
[
t_{по} = \frac{14}{v + 2}
]
Общее время:
[
t_{против} + t_{по} = 11 \text{ часов}
]
Следовательно, имеем уравнение:
[
\frac{27}{v - 2} + \frac{14}{v + 2} = 11
]
Шаг 3. Решаем уравнение
Объединим дроби, приводя к общему знаменателю:
[
\frac{27(v + 2) + 14(v - 2)}{(v - 2)(v + 2)} = 11
]
Раскроем скобки в числителе:
[
27v + 54 + 14v - 28 = 11 (v^2 - 4)
]
Объединим подобные слагаемые:
[
(27v + 14v) + (54 - 28) = 11 (v^2 - 4)
]
[
41v + 26 = 11v^2 - 44
]
Перенесем всё в левую часть:
[
11v^2 - 41v - 44 = 0
]
Это квадратное уравнение для ( v ).
Шаг 4. Решение квадратного уравнения
Коэффициенты: ( a=11 ), ( b=-41 ), ( c=-44 ).
Дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-41)^2 - 4 \times 11 \times (-44) = 1681 + 1936 = 3617
]
Корень из дискриминанта:
[
\sqrt{D} = \sqrt{3617} \approx 60.17
]
Найдем корни:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{41 \pm 60.17}{2 \times 11} = \frac{41 \pm 60.17}{22}
]
Первый корень:
[
v_1 = \frac{41 + 60.17}{22} \approx \frac{101.17}{22} \approx 4.6
]
Второй корень:
[
v_2 = \frac{41 - 60.17}{22} \approx \frac{-19.17}{22} \approx -0.87
]
Поскольку скорость не может быть отрицательной в этом контексте, выбираем:
[
v \approx 4.6 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Собственная скорость баржи примерно 4.6 км/ч.
