Найдите диаметр окружности вписанной в прямоугольный треугольник если гипотенуза треугольника равна с, а сумма катетов равна м

Давайте решим задачу поэтапно и подробно объясним все шаги. **Дано:** - Гипотенуза треугольника равна \( c \) - Сумма катетов равна \( m \) - Требуется найти диаметр вписанной окружности. --- ### Шаг 1: Обозначения и основные свойства Обозначим катеты треугольника как \( a \) и \( b \). Тогда у нас есть: \[ a + b = m \quad \text{(1)} \] Гипотенуза — это противолежащий стороне к прямому углу, и по теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \quad \text{(2)} \] --- ### Шаг 2: Выразим один катет через другой Из уравнения (1): \[ b = m - a \] Подставим в уравнение (2): \[ a^2 + (m - a)^2 = c^2 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + m^2 - 2am + a^2 = c^2 \] Объединим похожие слагаемые: \[ 2a^2 - 2am + m^2 = c^2 \] --- ### Шаг 3: Получим квадратное уравнение относительно \( a \) Перенесем всё в левую часть: \[ 2a^2 - 2am + (m^2 - c^2) = 0 \] Это квадратичное уравнение по \( a \): \[ 2a^2 - 2am + (m^2 - c^2) = 0 \] или, делением на 2: \[ a^2 - am + \frac{m^2 - c^2}{2} = 0 \] --- ### Шаг 4: Решим уравнение для \( a \) Решение уравнения по формуле квадратичных уравнений: \[ a = \frac{m \pm \sqrt{m^2 - 4 \times 1 \times \frac{m^2 - c^2}{2}}}{2} \] Обозначим дискриминант \( D \): \[ D = m^2 - 4 \times \frac{m^2 - c^2}{2} = m^2 - 2(m^2 - c^2) = m^2 - 2m^2 + 2c^2 = -m^2 + 2c^2 \] Проверим, чтобы дискриминант был неотрицателен: \[ D = 2c^2 - m^2 \ge 0 \] Это условие должно выполняться для существования катетов. Теперь выразим \( a \): \[ a = \frac{m \pm \sqrt{2c^2 - m^2}}{2} \] Катеты — это положительные длины, поэтому выбираем положительные корни. --- ### Шаг 5: Найдём радиус вписанной окружности Диаметр вписанной окружности в прямоугольном треугольнике: \[ d = 2r \] где \( r \) — радиус вписанной окружности. Для прямоугольного треугольника: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] Это классическая формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике. Также, поскольку \( a + b = m \): \[ r = \frac{m - c}{2} \] Следовательно: \[ \boxed{ d = 2r = m - c } \] --- ### **Ответ:** **Диаметр вписанной окружности равен \( m - c \).** --- ### Итог: - Чтобы найти диаметр вписанной окружности в прямоугольном треугольнике, достаточно знать сумму катетов \( m \) и гипотенузу \( c \). - Он равен разности между суммой катетов и гипотенузой: \[ \boxed{ d = m - c } \] Если есть конкретные значения \( c \) и \( m \), можно подставить и получить численный ответ.