Найдите объём правильной треугольной пирамиды если все рёбра равны 6 см

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап. Задача: Найти объем правильной треугольной пирамиды, если все ребра равны 6 см. --- ### Шаг 1: Что такое правильная треугольная пирамида? Это пирамида, у которой основание – правильный равносторонний треугольник, а боковые грани – равнобедренные треугольники, с вершиной в одной точке. ### Шаг 2: Что известно? - Ребра равны и равны 6 см: - Ребра основания (стороны треугольника) — \( a = 6 \text{ см} \) - Ребра боковых граней (от вершины к вершинам основания) — тоже 6 см (так как все ребра равны) --- ### Шаг 3: Найти основание — площадь основания Основание — правильный равносторонний треугольник со стороной \( a=6 \text{ см} \). Формула площади равностороннего треугольника: \[ S_осн = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Подставим значение: \[ S_осн = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9 \sqrt{3} \text{ кв. см} \] --- ### Шаг 4: Найти высоту пирамиды \( h \) Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание. Назовём вершину \( V \), основания — треугольник \( ABC \). Для нахождения объема нам нужно найти высоту пирамиды, которая определяет объем как: \[ V = \frac{1}{3} \times S_осн \times h \] Чтобы найти \( h \), нужно понять, как расположена вершина относительно основания. Учитывая, что все ребра равны 6 см, и вершина соединена с тремя вершинами основания одинаково, то вершина лежит над центром основания. --- ### Шаг 5: найти высоту \( h \) Рассмотрим треугольник, образованный вершиной \( V \), центром основания \( O \), и одной из вершин основания, например, \( A \). В этом треугольнике: - \( VO = h \) - \( VA = 6 \text{ см} \) - \( OA \) — расстояние от центра правильного треугольника до одной вершины. Объемное положение показывает, что вершина \( V \) находится на высоте, перпендикулярной к центру основания \( O \). Тогда: В треугольнике \( VO A \): - \( VA=6 \text{ см} \), - \( OA \) — радиус описанной окружности равностороннего треугольника. Радиус описанной окружности равностороннего треугольника со стороной \( a \): \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Подставим \( a=6 \): \[ R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} \] --- ### Шаг 6: найти высоту \( h \) Используя теорему Пифагора в треугольнике \( VAO \): \[ VA^2 = VO^2 + OA^2 \] \[ 6^2 = h^2 + (2\sqrt{3})^2 \] \[ 36 = h^2 + 4 \times 3 = h^2 + 12 \] \[ h^2 = 36 - 12 = 24 \] \[ h = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6} \] --- ### Шаг 7: найти объем пирамиды Объем: \[ V = \frac{1}{3} \times S_осн \times h \] Подставляем значения: \[ V = \frac{1}{3} \times 9 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{6} \] Упростим: \[ V = 3 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{6} = 6 \sqrt{3} \times \sqrt{6} \] \[ V = 6 \times \sqrt{3 \times 6} = 6 \times \sqrt{18} = 6 \times \sqrt{9 \times 2} = 6 \times 3 \sqrt{2} = 18 \sqrt{2} \text{ кв.см} \] --- ## Итог: ### **Ответ:** Объем правильной треугольной пирамиды со всеми рёбрами 6 см равен \( \boxed{18 \sqrt{2}} \) кубическим сантиметрам.