Биссектриса внешнего угла cbd треугольника ABC параллельно стороне AC найдите величину угла CAB если угол ABC 30°

Давайте разберём задачу по шагам, чтобы понять, как найти угол \( \angle CAB \). **Дано:** - Внешний угол \( \angle CBD \) треугольника \( ABC \) - Биссектриса этого внешнего угла параллельна стороне \( AC \) - Угол \( \angle ABC = 30^\circ \) **Задача:** найти угол \( \angle CAB \). --- ### Шаг 1: Визуализация и обозначения Давайте нарисуем треугольник \( ABC \), где: - \( \angle ABC = 30^\circ \). - Обозначим углы треугольника как: - \( \angle BAC = \alpha \) (то, что нужно найти), - \( \angle ABC = 30^\circ \), - \( \angle ACB = \gamma \). --- ### Шаг 2: Внешний угол \( \angle CBD \) Обозначим внешний угол, образованный продолжением стороны \( BC \), как \( \angle CBD \). Это внешний угол при вершине \( C \). По определению, внешний угол равен сумме двух внутренних несмежных углов треугольника: \[ \angle CBD = \angle BAC + \angle ABC = \alpha + 30^\circ. \] --- ### Шаг 3: Биссектриса внешнего угла \( \angle CBD \) Биссектриса этого внешнего угла делит его на две равные части. Пусть эта биссектриса — \( l \). Также сказано, что эта биссектриса параллельна стороне \( AC \). Значит: \[ l \parallel AC. \] --- ### Шаг 4: Свойство параллельных линий и углов Параллельность \( l \) и \( AC \) говорит о том, что: - Всякое перпендикулярное к \( l \) или \( AC \) создает равные углы при пересечении с определёнными линиями. В частности, получим: - Углы, образованные биссектрисой \( l \) и линией, соединяющей вершины \( ABC \), будут равны соответствующим углам на иных параллельных линиях. --- ### Шаг 5: Используем свойства углов Поскольку биссектриса внешнего угла делит его пополам, и при этом она параллельна \( AC \), можно сделать выводы: - Угол \( \angle BAC = \alpha \) связан с углами при параллельных линиях. --- ### Шаг 6: Итоговое решение Рассмотрим треугольник \( ABC \): - \( \angle ABC = 30^\circ \), - \( \angle BAC = \alpha \), - \( \angle ACB = \gamma \). Сумма внутренних углов треугольника равна 180°: \[ \alpha + 30^\circ + \gamma = 180^\circ. \] Далее, поскольку биссектриса внешнего угла \( \angle CBD \) делит его пополам, и она параллельна \( AC \), это значит, что: \[ \alpha = \angle ACB. \] Потому что, при условии параллельности, углы, вызванные такими линиями, равны. Подставляя \( \gamma = \alpha \), получим: \[ \alpha + 30^\circ + \alpha = 180^\circ, \] \[ 2\alpha + 30^\circ = 180^\circ, \] \[ 2\alpha = 150^\circ, \] \[ \alpha = 75^\circ. \] --- ### **Ответ:** **Угол \( \angle CAB \) равен \( \boxed{75^\circ} \).** Если есть дополнительные уточнения, я могу помочь ещё подробнее!