54/(5√6)

Давайте подробно разберем выражение \( \frac{54}{5\sqrt{6}} \).

Шаг 1: Запись исходного выражения
\[ \frac{54}{5\sqrt{6}} \]

Шаг 2: Упростить дробь
Общая идея — избавиться от иррационального знаменателя (числителя под знаком корня) путем рационализации.

Шаг 3: Рационализация знаменателя
Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение или такое же число, которое даст в знаменателе полное квадратное выражение.

Знаменатель — \( 5\sqrt{6} \). Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{6} \):

\[ \frac{54}{5\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{54 \times \sqrt{6}}{5 \sqrt{6} \times \sqrt{6}} \]

Шаг 4: Упростить знаменатель
Знаменатель: \( 5 \sqrt{6} \times \sqrt{6} \)

Используя свойство корней: \( \sqrt{6} \times \sqrt{6} = 6 \)

Следовательно:

\[ 5 \times 6 = 30 \]

Значит, у нас получается:

\[ \frac{54 \times \sqrt{6}}{30} \]

Шаг 5: Упростить числитель и знаменатель
Можно сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель.

Общий делитель — 6:

\[ \frac{54}{6} = 9 \]

и

\[ \frac{30}{6} = 5 \]

Таким образом, исходное выражение превращается в:

\[ \frac{9 \times \sqrt{6}}{5} \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{9\sqrt{6}}{5}} \]

Это — упрощённое и рационализированное выражение.