54/(5√6)

Давайте подробно разберем выражение \( \frac{54}{5\sqrt{6}} \). **Шаг 1: Запись исходного выражения** \[ \frac{54}{5\sqrt{6}} \] **Шаг 2: Упростить дробь** Общая идея — избавиться от иррационального знаменателя (числителя под знаком корня) путем рационализации. **Шаг 3: Рационализация знаменателя** Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение или такое же число, которое даст в знаменателе полное квадратное выражение. Знаменатель — \( 5\sqrt{6} \). Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{6} \): \[ \frac{54}{5\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{54 \times \sqrt{6}}{5 \sqrt{6} \times \sqrt{6}} \] **Шаг 4: Упростить знаменатель** Знаменатель: \( 5 \sqrt{6} \times \sqrt{6} \) Используя свойство корней: \( \sqrt{6} \times \sqrt{6} = 6 \) Следовательно: \[ 5 \times 6 = 30 \] Значит, у нас получается: \[ \frac{54 \times \sqrt{6}}{30} \] **Шаг 5: Упростить числитель и знаменатель** Можно сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель. Общий делитель — 6: \[ \frac{54}{6} = 9 \] и \[ \frac{30}{6} = 5 \] Таким образом, исходное выражение превращается в: \[ \frac{9 \times \sqrt{6}}{5} \] **Ответ:** \[ \boxed{\frac{9\sqrt{6}}{5}} \] Это — упрощённое и рационализированное выражение.