Давайте подробно разберем задачу и найдем ответ.
Обозначения:
Пусть в ящиках находятся:
- (R_i) — число красных шаров в (i)-м ящике,
- (S_i) — число синих шаров в (i)-м ящике,
- (B_i) — число белых шаров в (i)-м ящике,
где (i=1,2,3,4,5).
Условия задачи:
- Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках:
[
S_i = \sum_{\substack{j=1 \ j \neq i}}^{5} B_j
]
- Число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных во всех остальных ящиках:
[
B_i = \sum_{\substack{j=1 \ j \neq i}}^{5} R_j
]
Анализ условий:
Так как сумма всех белых шаров по пяти ящикам — это (B_1 + B_2 + B_3 + B_4 + B_5 = B_{общ}), а сумма всех синих — (S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 = S_{общ}), и по условию:
[
S_i = B_{общ} - B_i
]
[
B_i = R_{общ} - R_i
]
где:
[
B_{общ} = \sum_{i=1}^5 B_i, \quad R_{общ} = \sum_{i=1}^5 R_i
]
Теперь, заметим важные следствия:
[
B_i = R_{общ} - R_i \implies R_i = R_{общ} - B_i
]
[
S_i = B_{общ} - B_i
]
Все вместе:
[
R_i = R_{общ} - B_i
]
[
S_i = B_{общ} - B_i
]
Выразим сумму всех шаров:
Общее количество шаров — это сумма по всем ящикам:
[
T = \sum_{i=1}^{5} (R_i + S_i + B_i)
]
Подставляя выражения:
[
T = \sum_{i=1}^5 R_i + \sum_{i=1}^5 S_i + \sum_{i=1}^5 B_i
]
Значит:
[
T = R_{общ} + S_{общ} + B_{общ}
]
Из предыдущих:
[
S_i = B_{общ} - B_i \Rightarrow S_{общ} = \sum_{i=1}^5 S_i = \sum_{i=1}^5 (B_{общ} - B_i) = 5 B_{общ} - B_{общ} = 4 B_{общ}
]
Также:
[
R_i = R_{общ} - B_i
]
Следовательно, сумма:
[
R_{общ} = \sum_{i=1}^5 R_i
]
Связи между суммами:
Общее число шаров:
[
T = R_{общ} + S_{общ} + B_{общ} = R_{общ} + 4 B_{общ} + B_{общ} = R_{общ} + 5 B_{общ}
]
Еще по условию, что для каждого (i):
[
R_i = R_{общ} - B_i
]
и сумма (R_i) равна (R_{общ}), то есть:
[
R_{общ} = \sum_{i=1}^5 R_i
]
Выразим из этого:
[
R_{общ} = \sum_{i=1}^5 R_i = \sum_{i=1}^5 (R_{общ} - B_i) = 5 R_{общ} - B_{общ}
]
[
\Rightarrow R_{общ} = 5 R_{общ} - B_{общ}
]
[
\Rightarrow B_{общ} = 4 R_{общ}
]
Подставим в выражение для общего количества шаров:
[
T = R_{общ} + 5 B_{общ} = R_{общ} + 5 \times 4 R_{общ} = R_{общ} + 20 R_{общ} = 21 R_{авобщ}
]
Теперь остаётся найти онтределенное число (R_{общ}), учитывая, что сумма шаров в ящиках — число чётное, больше 50 и меньше 100.
Итог:
[
T = 21 R_{общ}
]
Чтобы (T \in (50, 100)) и (T) — четное число, необходимо подобрать (R_{общ}):
[
21 R_{общ} \in (50, 100)
]
Пусть (R_{общ}) — целое. Тогда:
[
\frac{50}{21} < R_{общ} < \frac{100}{21} \implies 2.38 < R_{общ} < 4.76
]
Таким образом, (R_{общ}) — целое число, равное 3 или 4.
Проверим эти значения:
[
T = 21 \times 3 = 63
]
[
T = 21 \times 4 = 84
]
Обе суммы — четные и попадают в диапазон (50, 100). Но по условию, что сумма чётная, больше 50 и меньше 100, и числа:
- 63 — нечетное, поэтому исключаем.
- 84 — четное, подходит.
Итовый ответ:
Общее число шаров — 84.
Итог:
Ответ: в ящиках всего 84 шара.
