В пяти ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно…
В пяти ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Сколько всего шаров лежит в ящиках, если известно, что их количество чётно, больше 50 и меньше 100? 17 Решение.
Давайте подробно разберем задачу и найдем ответ.
Обозначения:
Пусть в ящиках находятся:
- \(R_i\) — число красных шаров в \(i\)-м ящике,
- \(S_i\) — число синих шаров в \(i\)-м ящике,
- \(B_i\) — число белых шаров в \(i\)-м ящике,
где \(i=1,2,3,4,5\).
Условия задачи:
- Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках:
\[ S_i = \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{5} B_j \]
- Число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных во всех остальных ящиках:
\[ B_i = \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{5} R_j \]
Анализ условий:
Так как сумма всех белых шаров по пяти ящикам — это \(B_1 + B_2 + B_3 + B_4 + B_5 = B_{общ}\), а сумма всех синих — \(S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 = S_{общ}\), и по условию:
\[ S_i = B_{общ} - B_i \] \[ B_i = R_{общ} - R_i \]
где:
\[
B_{общ} = \sum_{i=1}^5 B_i, \quad R_{общ} = \sum_{i=1}^5 R_i
\]
Теперь, заметим важные следствия:
- Из второго уравнения:
\[ B_i = R_{общ} - R_i \implies R_i = R_{общ} - B_i \]
- Из первого уравнения:
\[ S_i = B_{общ} - B_i \]
Все вместе:
\[ R_i = R_{общ} - B_i \] \[ S_i = B_{общ} - B_i \]
Выразим сумму всех шаров:
Общее количество шаров — это сумма по всем ящикам:
\[ T = \sum_{i=1}^{5} (R_i + S_i + B_i) \]
Подставляя выражения:
\[ T = \sum_{i=1}^5 R_i + \sum_{i=1}^5 S_i + \sum_{i=1}^5 B_i \]
Значит:
\[ T = R_{общ} + S_{общ} + B_{общ} \]
Из предыдущих:
\[ S_i = B_{общ} - B_i \Rightarrow S_{общ} = \sum_{i=1}^5 S_i = \sum_{i=1}^5 (B_{общ} - B_i) = 5 B_{общ} - B_{общ} = 4 B_{общ} \]
Также:
\[ R_i = R_{общ} - B_i \]
Следовательно, сумма:
\[ R_{общ} = \sum_{i=1}^5 R_i \]
Связи между суммами:
Общее число шаров:
\[ T = R_{общ} + S_{общ} + B_{общ} = R_{общ} + 4 B_{общ} + B_{общ} = R_{общ} + 5 B_{общ} \]
Еще по условию, что для каждого \(i\):
\[ R_i = R_{общ} - B_i \]
и сумма \(R_i\) равна \(R_{общ}\), то есть:
\[ R_{общ} = \sum_{i=1}^5 R_i \]
Выразим из этого:
\[ R_{общ} = \sum_{i=1}^5 R_i = \sum_{i=1}^5 (R_{общ} - B_i) = 5 R_{общ} - B_{общ} \] \[ \Rightarrow R_{общ} = 5 R_{общ} - B_{общ} \] \[ \Rightarrow B_{общ} = 4 R_{общ} \]
Подставим в выражение для общего количества шаров:
\[ T = R_{общ} + 5 B_{общ} = R_{общ} + 5 \times 4 R_{общ} = R_{общ} + 20 R_{общ} = 21 R_{авобщ} \]
Теперь остаётся найти онтределенное число \(R_{общ}\), учитывая, что сумма шаров в ящиках — число чётное, больше 50 и меньше 100.
Итог:
\[ T = 21 R_{общ} \]
Чтобы \(T \in (50, 100)\) и \(T\) — четное число, необходимо подобрать \(R_{общ}\):
\[ 21 R_{общ} \in (50, 100) \]
Пусть \(R_{общ}\) — целое. Тогда:
\[ \frac{50}{21} < R_{общ} < \frac{100}{21} \implies 2.38 < R_{общ} < 4.76 \]
Таким образом, \(R_{общ}\) — целое число, равное 3 или 4.
Проверим эти значения:
- Для \(R_{общ} = 3\):
\[ T = 21 \times 3 = 63 \]
- Для \(R_{общ} = 4\):
\[ T = 21 \times 4 = 84 \]
Обе суммы — четные и попадают в диапазон (50, 100). Но по условию, что сумма чётная, больше 50 и меньше 100, и числа:
- 63 — нечетное, поэтому исключаем.
- 84 — четное, подходит.
Итовый ответ:
Общее число шаров — 84.
Итог:
Ответ: в ящиках всего 84 шара.
