Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 6√3 см и образует с плоскостью основания угол 60 градусов

Давайте решать задачу шаг за шагом. **Дано:** - Боковое ребро пирамиды: \( l = 6\sqrt{3} \) см - Угол между боковым ребром и плоскостью основания: \( \alpha = 60^\circ \) **Требуется найти объём правильной четырёхугольной пирамиды.** --- ### Шаг 1: Что такое правильная четырёхугольная пирамида? Это пирамида с квадратным основанием и вершиной, расположенной прямо над центром основания. В основании — квадрат, со стороной \( a \). --- ### Шаг 2: Рассмотрим геометрические соотношения - Боковое ребро — это ребро, соединяющее вершину пирамиды с одной из вершин основания. - Угол \( \alpha \) между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°. --- ### Шаг 3: Анализ бокового ребра Обозначим: - центр основания — \( O \) - вершина пирамиды — \( V \) - вершина квадрата — \( A \) - напротив вершины \( A \) — вершина \( V \) Боковое ребро — \( VA \). Пусть \( h \) — высота пирамиды (расстояние от вершины \( V \) до плоскости основания \( ABCD \)), а \( a \) — сторона квадрата основания. Вектор \( VA \) образует угол 60°, с плоскостью основания (плоскость квадрата). Тогда: \[ \cos 60^\circ = \frac{\text{проекцию бокового ребра на перпендикуляр к основанию}}{l} \] Но проще рассматривать геометрические соотношения: Если \( l \) — длина бокового ребра, то его компоненты: \[ \text{вертикальная компонента} = l \sin \alpha \] \[ \text{горизонтальная компонента} = l \cos \alpha \] где \(\alpha = 60^\circ \). --- ### Шаг 4: Вычисление вертикальной и горизонтальной составляющих \[ h = l \sin 60^\circ = 6\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \times \frac{3}{2} = 9 \text{ см} \] Горизонтальная составляющая: \[ r = l \cos 60^\circ = 6\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см} \] Это — расстояние от вершины \( V \) до вертикальной проекции \( O \) (центра основания). --- ### Шаг 5: Связь с основанием В основании — квадрат со стороной \( a \). Вершина \( V \) расположена над центром основания \( O \), потому что пирамида правильная. Высота: \[ h = 9 \text{ см} \] Радиус описанной окружности квадрата (расстояние от центра \( O \) до любой вершины) —: \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Рассмотрим треугольник, образованный точкой \( V \), центром основания \( O \), и вершиной квадрата \( A \). Расстояние от \( V \) до любой вершины квадрата — это боковое ребро, которое составляет гипотенузу треугольника со сторонами: - высота \( h = 9 \text{ см} \), - горизонтальная составляющая \( r = 3\sqrt{3} \text{ см} \). --- ### Шаг 6: Найдём сторону квадрата \(a\) Из треугольника, образованного \( V \), центром основания \( O \), и вершиной квадрата \( A \): \[ l^2 = h^2 + R^2 \] Где \( R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \). Подставим: \[ (6\sqrt{3})^2 = 9^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 \] Вычисляем: \[ 36 \times 3 = 81 + \frac{a^2 \times 2}{4} \] \[ 108 = 81 + \frac{a^2 \times 2}{4} \] \[ 108 - 81 = \frac{a^2 \times 2}{4} \] \[ 27 = \frac{a^2 \times 2}{4} \] Умножим обе части на 4: \[ 108 = 2a^2 \] Разделим на 2: \[ a^2 = 54 \] Следовательно: \[ a = \sqrt{54} = 3 \sqrt{6} \text{ см} \] --- ### Шаг 7: Найдём объём пирамиды Объём правильной пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h \] где \( S_{\text{осн}} = a^2 \). Подставим значение \( a^2 \): \[ V = \frac{1}{3} \times 54 \times 9 \] \[ V = \frac{1}{3} \times 486 = 162 \text{ см}^3 \] --- ## Итог: **Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен \(\boxed{162}\) кубических сантиметров.**