Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 6√3 см и образует с плоскостью основания угол 60 градусов
Давайте решать задачу шаг за шагом.
Дано:
- Боковое ребро пирамиды: \( l = 6\sqrt{3} \) см
- Угол между боковым ребром и плоскостью основания: \( \alpha = 60^\circ \)
Требуется найти объём правильной четырёхугольной пирамиды.
Шаг 1: Что такое правильная четырёхугольная пирамида?
Это пирамида с квадратным основанием и вершиной, расположенной прямо над центром основания.
В основании — квадрат, со стороной \( a \).
Шаг 2: Рассмотрим геометрические соотношения
- Боковое ребро — это ребро, соединяющее вершину пирамиды с одной из вершин основания.
- Угол \( \alpha \) между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°.
Шаг 3: Анализ бокового ребра
Обозначим:
- центр основания — \( O \)
- вершина пирамиды — \( V \)
- вершина квадрата — \( A \)
- напротив вершины \( A \) — вершина \( V \)
Боковое ребро — \( VA \).
Пусть \( h \) — высота пирамиды (расстояние от вершины \( V \) до плоскости основания \( ABCD \)), а \( a \) — сторона квадрата основания.
Вектор \( VA \) образует угол 60°, с плоскостью основания (плоскость квадрата). Тогда:
\[ \cos 60^\circ = \frac{\text{проекцию бокового ребра на перпендикуляр к основанию}}{l} \]
Но проще рассматривать геометрические соотношения:
Если \( l \) — длина бокового ребра, то его компоненты:
\[ \text{вертикальная компонента} = l \sin \alpha \] \[ \text{горизонтальная компонента} = l \cos \alpha \]
где \(\alpha = 60^\circ \).
Шаг 4: Вычисление вертикальной и горизонтальной составляющих
\[ h = l \sin 60^\circ = 6\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \times \frac{3}{2} = 9 \text{ см} \]
Горизонтальная составляющая:
\[ r = l \cos 60^\circ = 6\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см} \]
Это — расстояние от вершины \( V \) до вертикальной проекции \( O \) (центра основания).
Шаг 5: Связь с основанием
В основании — квадрат со стороной \( a \).
Вершина \( V \) расположена над центром основания \( O \), потому что пирамида правильная.
Высота:
\[ h = 9 \text{ см} \]
Радиус описанной окружности квадрата (расстояние от центра \( O \) до любой вершины) —:
\[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]
Рассмотрим треугольник, образованный точкой \( V \), центром основания \( O \), и вершиной квадрата \( A \).
Расстояние от \( V \) до любой вершины квадрата — это боковое ребро, которое составляет гипотенузу треугольника со сторонами:
- высота \( h = 9 \text{ см} \),
- горизонтальная составляющая \( r = 3\sqrt{3} \text{ см} \).
Шаг 6: Найдём сторону квадрата \(a\)
Из треугольника, образованного \( V \), центром основания \( O \), и вершиной квадрата \( A \):
\[ l^2 = h^2 + R^2 \]
Где \( R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \).
Подставим:
\[ (6\sqrt{3})^2 = 9^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 \]
Вычисляем:
\[ 36 \times 3 = 81 + \frac{a^2 \times 2}{4} \]
\[ 108 = 81 + \frac{a^2 \times 2}{4} \]
\[ 108 - 81 = \frac{a^2 \times 2}{4} \]
\[ 27 = \frac{a^2 \times 2}{4} \]
Умножим обе части на 4:
\[ 108 = 2a^2 \]
Разделим на 2:
\[ a^2 = 54 \]
Следовательно:
\[ a = \sqrt{54} = 3 \sqrt{6} \text{ см} \]
Шаг 7: Найдём объём пирамиды
Объём правильной пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h \]
где \( S_{\text{осн}} = a^2 \).
Подставим значение \( a^2 \):
\[ V = \frac{1}{3} \times 54 \times 9 \]
\[ V = \frac{1}{3} \times 486 = 162 \text{ см}^3 \]
Итог:
Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен \(\boxed{162}\) кубических сантиметров.
