Улитка, ползая по пересеченной местно- сти, за первый час проползла 800 мм, а за каж дый следующий час она проползала на 25 мм меньше, чем за предыдущий. Сколько време- ни она потратила на путь, равный 5700 мм?

Давайте внимательно разберём задачу и пошагово решим её. **Условие:** - Улитка за первый час проползла 800 мм. - Каждый следующий час она проползает на 25 мм меньше, чем за предыдущий. - Нужно узнать, сколько времени она потратила, чтобы пройти 5700 мм. --- ### Шаг 1. Запишем данные и обозначения Обозначим: - Пусть \( t \) — количество часов, за которое улитка преодолевает путь. - Пусть \( S_n \) — расстояние, пройденное улиткой за \( n \)-й час. - Тогда: \[ S_1 = 800 \text{ мм} \] \[ S_2 = 800 - 25 = 775 \text{ мм} \] \[ S_3 = 775 - 25 = 750 \text{ мм} \] И так далее. Это арифметическая прогрессия, где первый член \( a_1 = 800 \), а разность \( d = -25 \). --- ### Шаг 2. Формула суммы арифметической прогрессии Общая пройденная за \( t \) часов длина: \[ S_t = S_1 + S_2 + \dots + S_t \] или сумма первых \( t \) членов арифметической прогрессии: \[ S_t = \frac{t}{2} (2a_1 + (t-1)d) \] где: - \( a_1 = 800 \), - \( d = -25 \). Нужно найти \( t \), при котором \[ S_t = 5700 \text{ мм} \] --- ### Шаг 3. Запишем уравнение \[ \frac{t}{2} \left(2 \times 800 + (t - 1)(-25)\right) = 5700 \] Раскроем скобки: \[ \frac{t}{2} \left(1600 - 25(t - 1)\right) = 5700 \] Упростим выражение внутри скобок: \[ 1600 - 25t + 25 = 1625 - 25t \] Подставим обратно: \[ \frac{t}{2} (1625 - 25t) = 5700 \] Теперь умножим обе части уравнения на 2: \[ t (1625 - 25t) = 11400 \] Раскроем скобки: \[ 1625 t - 25 t^2 = 11400 \] Перенесём всё в левую часть: \[ -25 t^2 + 1625 t - 11400 = 0 \] или умножим уравнение на -1 для удобства: \[ 25 t^2 - 1625 t + 11400 = 0 \] --- ### Шаг 4. Решение квадратного уравнения Обозначим: \[ a = 25,\quad b = -1625,\quad c = 11400 \] Дискоминант: \[ D = b^2 - 4ac \] Вычислим: \[ D = (-1625)^2 - 4 \times 25 \times 11400 \] Рассчитаем по частям: \[ (-1625)^2 = 1625^2 \] - \( 1625^2 = (1600 + 25)^2 = 1600^2 + 2 \times 1600 \times 25 + 25^2 = 2,560,000 + 80,000 + 625 = 2,640,625 \) Теперь: \[ 4 \times 25 \times 11400 = 100 \times 11400 = 1,140,000 \] Следовательно, \[ D = 2,640,625 - 1,140,000 = 1,500,625 \] Дискриминант положителен, значит, есть два корня. --- ### Шаг 5. Найдём корни уравнения Формула для корней: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ t = \frac{1625 \pm \sqrt{1,500,625}}{2 \times 25} = \frac{1625 \pm \sqrt{1,500,625}}{50} \] Рассчитаем \(\sqrt{1,500,625}\): - Заметим, что \(1225^2 = 1,500,625\) Потому что: \[ 1225^2 = (1200 + 25)^2 = 1200^2 + 2 \times 1200 \times 25 + 25^2 = 1,440,000 + 60,000 + 625 = 1,500,625 \] Проверка верна. Теперь вычислим оба корня: \[ t_1 = \frac{1625 + 1225}{50} = \frac{2850}{50} = 57 \] \[ t_2 = \frac{1625 - 1225}{50} = \frac{400}{50} = 8 \] --- ### **Ответ:** **Положительное решение — \( t = 8 \) или \( t=57 \).** Но поскольку речь о времени пути, которое улитка прошла — время не может быть больше, чем оно вообще возможно, а пройденный путь — это 5700 мм — такое достижимо за 8 часов (с учётом уменьшающейся скорости). --- ### **Проверка на разумность:** - За первые 8 часов сумма: \[ S_8 = \frac{8}{2}(2 \times 800 + (8 - 1)(-25)) = 4 (1600 - 7 \times 25) \] \[ = 4 (1600 - 175) = 4 \times 1425 = 5700 \text{ мм} \] Совпадает с условием! --- ## **Итог:** **Ответ:** улитка прошла 5700 мм за **8 часов**. --- Если нужно более подробно объяснить любой шаг, скажи!