Улитка, ползая по пересеченной местно- сти, за первый час проползла 800 мм, а за каж дый следующий час она проползала на 25 мм меньше, чем за предыдущий. Сколько време- ни она…

Давайте внимательно разберём задачу и пошагово решим её.

Условие:

• Улитка за первый час проползла 800 мм.
• Каждый следующий час она проползает на 25 мм меньше, чем за предыдущий.
• Нужно узнать, сколько времени она потратила, чтобы пройти 5700 мм.

---

Шаг 1. Запишем данные и обозначения

Обозначим:

• Пусть \( t \) — количество часов, за которое улитка преодолевает путь.
• Пусть \( S_n \) — расстояние, пройденное улиткой за \( n \)-й час.
• Тогда:
  \[ S_1 = 800 \text{ мм} \] \[ S_2 = 800 - 25 = 775 \text{ мм} \] \[ S_3 = 775 - 25 = 750 \text{ мм} \] И так далее.

Это арифметическая прогрессия, где первый член \( a_1 = 800 \), а разность \( d = -25 \).

---

Шаг 2. Формула суммы арифметической прогрессии

Общая пройденная за \( t \) часов длина:
\[ S_t = S_1 + S_2 + \dots + S_t \]

или сумма первых \( t \) членов арифметической прогрессии:

\[ S_t = \frac{t}{2} (2a_1 + (t-1)d) \]

где:

• \( a_1 = 800 \),
• \( d = -25 \).

Нужно найти \( t \), при котором

\[ S_t = 5700 \text{ мм} \]

---

Шаг 3. Запишем уравнение

\[ \frac{t}{2} \left(2 \times 800 + (t - 1)(-25)\right) = 5700 \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{t}{2} \left(1600 - 25(t - 1)\right) = 5700 \]

Упростим выражение внутри скобок:

\[ 1600 - 25t + 25 = 1625 - 25t \]

Подставим обратно:

\[ \frac{t}{2} (1625 - 25t) = 5700 \]

Теперь умножим обе части уравнения на 2:

\[ t (1625 - 25t) = 11400 \]

Раскроем скобки:

\[ 1625 t - 25 t^2 = 11400 \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ -25 t^2 + 1625 t - 11400 = 0 \]

или умножим уравнение на -1 для удобства:

\[ 25 t^2 - 1625 t + 11400 = 0 \]

---

Шаг 4. Решение квадратного уравнения

Обозначим:

\[ a = 25,\quad b = -1625,\quad c = 11400 \]

Дискоминант:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Вычислим:

\[ D = (-1625)^2 - 4 \times 25 \times 11400 \]

Рассчитаем по частям:

\[ (-1625)^2 = 1625^2 \]

• \( 1625^2 = (1600 + 25)^2 = 1600^2 + 2 \times 1600 \times 25 + 25^2 = 2,560,000 + 80,000 + 625 = 2,640,625 \)

Теперь:

\[ 4 \times 25 \times 11400 = 100 \times 11400 = 1,140,000 \]

Следовательно,

\[ D = 2,640,625 - 1,140,000 = 1,500,625 \]

Дискриминант положителен, значит, есть два корня.

---

Шаг 5. Найдём корни уравнения

Формула для корней:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ t = \frac{1625 \pm \sqrt{1,500,625}}{2 \times 25} = \frac{1625 \pm \sqrt{1,500,625}}{50} \]

Рассчитаем \(\sqrt{1,500,625}\):

• Заметим, что \(1225^2 = 1,500,625\)

Потому что:

\[ 1225^2 = (1200 + 25)^2 = 1200^2 + 2 \times 1200 \times 25 + 25^2 = 1,440,000 + 60,000 + 625 = 1,500,625 \]

Проверка верна.

Теперь вычислим оба корня:

\[ t_1 = \frac{1625 + 1225}{50} = \frac{2850}{50} = 57 \] \[ t_2 = \frac{1625 - 1225}{50} = \frac{400}{50} = 8 \]

---

Ответ:

Положительное решение — \( t = 8 \) или \( t=57 \).

Но поскольку речь о времени пути, которое улитка прошла — время не может быть больше, чем оно вообще возможно, а пройденный путь — это 5700 мм — такое достижимо за 8 часов (с учётом уменьшающейся скорости).

---

Проверка на разумность:

• За первые 8 часов сумма:

\[ S_8 = \frac{8}{2}(2 \times 800 + (8 - 1)(-25)) = 4 (1600 - 7 \times 25) \] \[ = 4 (1600 - 175) = 4 \times 1425 = 5700 \text{ мм} \]

Совпадает с условием!

---

Итог:

Ответ: улитка прошла 5700 мм за 8 часов.

---

Если нужно более подробно объяснить любой шаг, скажи!