. В окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 5 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри…

Конечно! Давайте подробно разберем задачу и решим её пошагово.

---

Условие задачи:

• Есть окружность радиуса R = 10 см.
• Внутри нее проведён диаметр (назовем его D).
• На этом диаметре выбрана точка А, она находится на расстоянии 5 см от центра окружности.
• Требуется найти радиус другой окружности, которая:
  • касается окружности в точке А (то есть внешний касательный контакт).
  • касается данной окружности (радиуса 10 см) внутри, то есть внутри первой окружности, и касается её в точке А.

---

Обозначения:

• Центр большой окружности: O.
• Радиус большой окружности: R = 10 см.
• Радиус искомой окружности: r.
• Центр искомой окружности: O'.
• Точка касания этой окружности и большой — A, которая находится на диаметре, и её расстояние от O равно OA.

---

Шаг 1. Расположение точек и координаты

• Пусть центр большой окружности: O в точке (0, 0).
• Диаметр — это отрезок, проходящий через центр O.
• Пусть точка A находится на диаметре, например, справа от центра (по оси x). Тогда: \[ A = (5, 0) \] потому что расстояние от O до A равно 5 см.

---

Шаг 2. Касательная окружность

• Мы ищем окружность с радиусом r, центр которой O'.
• Она касается большой окружности внутри неё (радиус 10 см) — то есть внутри, и в точке A.
• В этом случае, поскольку окружность касается в точке A, центр O' лежит на линии, соединяющей A и O.

---

Шаг 3. Свойства касания в точке A

• Поскольку окружность касается в точке A, то: \[ \text{Расстояние между центром } O' \text{ и точкой } A = r \]
• Для большой окружности, центр O и точка касания A связаны условием: \[ OA = R = 10 \text{ см} \]

---

Шаг 4. Расстояние между центрами окружностей

• Центр большой окружности: O = (0, 0)
• Центр искомой окружности: O' = (x', y')
• Поскольку окружность касаются в точке A (5,0), то O' находится на луче, исходящем из A.

Важное замечание:

• Внутри большой окружности, окружность, которая касается её в точке A, должна иметь центр, лежащий на линии, проходящей через A и центр O, но в сторону внутри окружности.

---

Шаг 5. Расположение центра O'

• Центр O' находится на линии AO, потому что касание происходит в точке A.

Пусть:

\[ O' = (x', y') \quad \text{где } (x', y') \text{ лежит на луче } AO \]

• Луч AO — это ось OX, потому что A расположена на оси x.
• Тогда: \[ O' = (x', 0) \]

---

Шаг 6. Расстояния

• Расстояние между O и O': \[ OO' = \sqrt{(x')^2 + 0^2} = |x'| \]

• Центр O' и точка касания A (5, 0) находятся на одной линии, а A лежит на окружности с центром O': \[ AO' = r \]

• Также, учитываем, что касание происходит в A, и радиус искомой окружности равен расстоянию от O' до A: \[ |x' - 5| = r \] поскольку O' лежит слева или справа от A.

---

Шаг 7. Связь между радиусом r и расстоянием OO'

• Так как O' — центр меньшей окружности, и она касается окружности в точке A, то: \[ OO' = R - r \]

• Заметим, что: \[ OO' = |x'| \]

• И так как A (5,0) — точка касания, и O' лежит на линии AO: \[ x' = 5 \pm r \]

• Центр O' на оси x и внутри окружности, значит, x' < 5. Поэтому выбираем: \[ x' = 5 - r \]

• Тогда: \[ |x'| = 5 - r \]

---

Шаг 8. Уравнение для O'

• Расстояние OO' равно R - r: \[ |x'| = R - r = 10 - r \]
• Но также из предыдущего шага: \[ x' = 5 - r \]
• Следовательно, подставляем: \[ |5 - r| = 10 - r \]

---

Шаг 9. Решение уравнения

Рассмотрим два случая:

1. Когда \(5 - r \ge 0\):

\[ 5 - r = 10 - r \Rightarrow 5 = 10 \Rightarrow \text{нет решения} \]

2. Когда \(5 - r < 0\):

\[ -(5 - r) = 10 - r \Rightarrow -5 + r = 10 - r \] \[ r + r = 10 + 5 \Rightarrow 2r = 15 \Rightarrow r = 7.5 \]

Поскольку \(r > 5\), то r = 7.5 см — подходит.

---

Ответ:

Радиус искомой окружности равен \(\boxed{7.5 \text{ см}}\).

---

Иллюстративный рисунок:

             O (0,0)
          ————————
          |        |
          |        |
A (5,0) —•--------•-- O' (x',0)
           \        /
            \      /
             \____/ (меньшая окружность радиуса 7.5 см, касающаяся большой в точке А (5,0))

Обратите внимание, что центр маленькой окружности находится слева от точки А по оси x — на координате \(x' = 5 - r = 5 - 7.5 = -2.5\).

---

Если нужны дополнительные объяснения или картинки — скажите!