. В окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 5 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности. с рисунком

Конечно! Давайте подробно разберем задачу и решим её пошагово. --- ### Условие задачи: - Есть окружность радиуса **R = 10 см**. - Внутри нее проведён диаметр (назовем его **D**). - На этом диаметре выбрана точка **А**, она находится на расстоянии 5 см от центра окружности. - Требуется найти радиус другой окружности, которая: - касается окружности в точке **А** (то есть внешний касательный контакт). - касается данной окружности (радиуса 10 см) внутри, то есть внутри первой окружности, и касается её в точке **А**. --- ### Обозначения: - Центр большой окружности: **O**. - Радиус большой окружности: **R = 10 см**. - Радиус искомой окружности: **r**. - Центр искомой окружности: **O'**. - Точка касания этой окружности и большой — **A**, которая находится на диаметре, и её расстояние от **O** равно **OA**. --- ### Шаг 1. Расположение точек и координаты - Пусть центр большой окружности: **O** в точке **(0, 0)**. - Диаметр — это отрезок, проходящий через центр **O**. - Пусть точка **A** находится на диаметре, например, справа от центра (по оси x). Тогда: \[ A = (5, 0) \] потому что расстояние от **O** до **A** равно 5 см. --- ### Шаг 2. Касательная окружность - Мы ищем окружность с радиусом **r**, центр которой **O'**. - Она касается большой окружности внутри неё (радиус 10 см) — то есть внутри, и в точке **A**. - В этом случае, поскольку окружность касается в точке **A**, центр **O'** лежит на линии, соединяющей **A** и **O**. --- ### Шаг 3. Свойства касания в точке **A** - Поскольку окружность касается в точке **A**, то: \[ \text{Расстояние между центром } O' \text{ и точкой } A = r \] - Для большой окружности, центр **O** и точка касания **A** связаны условием: \[ OA = R = 10 \text{ см} \] --- ### Шаг 4. Расстояние между центрами окружностей - Центр большой окружности: **O = (0, 0)** - Центр искомой окружности: **O' = (x', y')** - Поскольку окружность касаются в точке **A (5,0)**, то **O'** находится на луче, исходящем из **A**. ### Важное замечание: - Внутри большой окружности, окружность, которая касается её в точке **A**, должна иметь центр, лежащий на линии, проходящей через **A** и центр **O**, но в сторону внутри окружности. --- ### Шаг 5. Расположение центра **O'** - Центр **O'** находится на линии **AO**, потому что касание происходит в точке **A**. ### Пусть: \[ O' = (x', y') \quad \text{где } (x', y') \text{ лежит на луче } AO \] - Луч **AO** — это ось **OX**, потому что **A** расположена на оси x. - Тогда: \[ O' = (x', 0) \] --- ### Шаг 6. Расстояния - Расстояние между **O** и **O'**: \[ OO' = \sqrt{(x')^2 + 0^2} = |x'| \] - Центр **O'** и точка касания **A (5, 0)** находятся на одной линии, а **A** лежит на окружности с центром **O'**: \[ AO' = r \] - Также, учитываем, что касание происходит в **A**, и радиус искомой окружности равен расстоянию от **O'** до **A**: \[ |x' - 5| = r \] поскольку **O'** лежит слева или справа от **A**. --- ### Шаг 7. Связь между радиусом **r** и расстоянием **OO'** - Так как **O'** — центр меньшей окружности, и она касается окружности в точке **A**, то: \[ OO' = R - r \] - Заметим, что: \[ OO' = |x'| \] - И так как **A (5,0)** — точка касания, и **O'** лежит на линии **AO**: \[ x' = 5 \pm r \] - Центр **O'** на оси **x** и внутри окружности, значит, **x' < 5**. Поэтому выбираем: \[ x' = 5 - r \] - Тогда: \[ |x'| = 5 - r \] --- ### Шаг 8. Уравнение для **O'** - Расстояние **OO'** равно **R - r**: \[ |x'| = R - r = 10 - r \] - Но также из предыдущего шага: \[ x' = 5 - r \] - Следовательно, подставляем: \[ |5 - r| = 10 - r \] --- ### Шаг 9. Решение уравнения Рассмотрим два случая: 1. **Когда** \(5 - r \ge 0\): \[ 5 - r = 10 - r \Rightarrow 5 = 10 \Rightarrow \text{нет решения} \] 2. **Когда** \(5 - r < 0\): \[ -(5 - r) = 10 - r \Rightarrow -5 + r = 10 - r \] \[ r + r = 10 + 5 \Rightarrow 2r = 15 \Rightarrow r = 7.5 \] Поскольку \(r > 5\), то **r = 7.5 см** — подходит. --- ### **Ответ:** **Радиус искомой окружности равен \(\boxed{7.5 \text{ см}}\).** --- ### **Иллюстративный рисунок:** ``` O (0,0) ———————— | | | | A (5,0) —•--------•-- O' (x',0) \ / \ / \____/ (меньшая окружность радиуса 7.5 см, касающаяся большой в точке А (5,0)) ``` *Обратите внимание, что центр маленькой окружности находится слева от точки А по оси x — на координате \(x' = 5 - r = 5 - 7.5 = -2.5\)*. --- Если нужны дополнительные объяснения или картинки — скажите!