В ходе опроса происходило исследование зависимости принадлежности респондентов к малому или среднему бизнесу и наличием такой привычки как курение. На вопрос о том, курит ли…
В ходе опроса происходило исследование зависимости принадлежности респондентов к малому или среднему бизнесу и наличием такой привычки как курение. На вопрос о том, курит ли опрашиваемый, 126 человек (30% от всех респондентов) ответили положительно (из них 51 принадлежит к малому бизнесу, а 75 - к среднему бизнесу). Из некурящих малый бизнес представляют 13 человек. Выясните с помощью коэффициента контингенции силу связи между отношением респондентов к конкретному бизнесу (исходя из его размеров) и пристрастием к курению. В ответ введите значение коэффициента, округлив его до сотых. Дробную часть числа отделяйте точкой.
Для решения задачи используем коэффициент контингенции (Chi-square coefficient), который показывает силу связи между двумя категориальными переменными: принадлежностью к бизнесу (малый или средний) и курением.
Дано:
- Общее число респондентов: \(N\)
- Общее число курящих: 126 = 30% от всех, значит \(N = \frac{126}{0.3} = 420\)
- Курящие малого бизнеса: 51 человек
- Курящие среднего бизнеса: 75 человек
- Некурящие малого бизнеса: 13 человек
- Не курящие всего бизнеса: \(N_{мал} - \text{курящих малого}\)
Рассчитаем:
- Общее число малого бизнеса (\(N_{мал}\))
- Общее число среднего бизнеса (\(N_{средний}\))
- Число некурящих малого бизнеса (\(N_{некур}_мал\))
- Число некурящих среднего бизнеса (\(N_{некур}_средний\))
- Общее число респондентов в каждом бизнесе
Шаг 1: Найти общее число респондентов в малом бизнесе (\(N_{мал}\))
- Курящих малого бизнеса: 51
- Некурящих малого бизнеса: 13
- Всего малого бизнеса: \(N_{мал} = 51 + 13 = 64\)
Шаг 2: Аналогично, найти в среднем бизнесе
Полных данных о некурящих среднего бизнеса нет прямо, но можем определить их, вычтя из общего:
Общее число курящих: 126, из них:
- Малого бизнеса: 51
- Среднего бизнеса: 75
Общее число некурящих: \(N - 126 = 420 - 126 = 294\)
Значит, некурящие среднего бизнеса:
\(N_{некур}_средний = \) всего среднего бизнеса \(-\) курящих среднего бизнеса
Общее число среднего бизнеса по всему опросу:
Обозначим \(N_{средний}\).
Но напрямую его не дано, попробуем найти из данных.
Общее число респондентов:
- Курящие малого бизнеса: 51
- Курящие среднего бизнеса: 75
Общее число бизнес-сегментов — \(N_{мал} + N_{средний} = 420\)
Из данных знаем:
- Курящие малый бизнес: 51
- Курящие средний бизнес: 75
- Не курящие малый бизнес: 13
Обозначим:
- Не курящие среднего бизнеса: \(N_{некур}_средний\), которую нужно найти.
Общее число некурящих: 294.
Значит,
\[ N_{некур}_мал = N_{мал} - 51 = 64 - 51 = 13 \] \[ N_{некур}_средний = 294 - 13 = 281 \]
Общая схема таблицы:
| Курят | Не курят | Всего | |
|---|---|---|---|
| Малый бизнес | 51 | 13 | 64 |
| Средний бизнес | 75 | 281 | 356 |
| Всего | 126 | 294 | 420 |
Шаг 3: Построение таблицы ожидаемых значений для проверки связи и расчет коэффициента контингенции.
Формула коэффициента контингенции:
\[ \phi = \frac{ad - bc}{\sqrt{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}} \]
где:
- \(a\) — курящие малого бизнеса = 51
- \(b\) — некурящие малого бизнеса = 13
- \(c\) — курящие среднего бизнеса = 75
- \(d\) — некурящие среднего бизнеса = 281
Подставим значения:
\[ \phi = \frac{(51 \times 281) - (13 \times 75)}{\sqrt{(51 + 13)(75 + 281)(51 + 75)(13 + 281)}} \]
Вычислим числитель:
\[ (51 \times 281) = 14 331 \] \[ (13 \times 75) = 975 \]
Числитель:
\[ 14 331 - 975 = 13 356 \]
Теперь знаменатель:
\[ \sqrt{(64)(356)(126)(294)} \]
Посчитаем по частям:
- \( (64)(356) = 22 784 \)
- \( (126)(294) = 37 044 \)
Значит,
\[ \sqrt{22 784 \times 37 044} \]
Умножим:
\[ 22 784 \times 37 044 \approx \text{(используя калькулятор)} \]
Или приблизительно:
\[ 22 784 \times 37 044 \approx 844 723 296 \]
Взять корень:
\[ \sqrt{844 723 296} \approx 29 059.36 \]
Теперь найдем коэффициент:
\[ \phi = \frac{13 356}{29 059.36} \approx 0.460 \]
Округлим до сотых:
\[ \boxed{0.46} \]
Ответ: 0.46
