Какая часть молекул кислорода, нагретого до 600 К, имеет скорость в диапазоне от 1000 м/c до 1050 м/c? Ответ дать в процентах. дать ответ в процентах
Давайте решим задачу, используя принцип распределения скоростей молекул газа — Закон Максвелла.
Шаг 1. Основные формулы
Распределение скоростей молекул в идеальном газе описывается функцией Максвелла:
\[ f(v) = \left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} 4\pi v^2 \exp\left(-\frac{m v^2}{2 k T}\right) \]
Где:
- \( m \) — масса молекулы кислорода,
- \( v \) — скорость,
- \( T \) — температура в Кельвинах (600 К),
- \( k \) — постоянная Больцмана (\(1.38 \times 10^{-23}\, \Дж/К \)),
- \( m \) — масса одной молекулы кислорода \(\mathrm{O_2}\), равна \( m = \frac{M}{N_A} \), где \( M \) — молекулярная масса кислорода (32 г/моль или 0.032 кг/моль), \( N_A \) — число Авогадро (\(6.022 \times 10^{23}\)).
Шаг 2. Расчет массы молекулы кислорода
\[ m = \frac{0.032\,\кг/моль}{6.022 \times 10^{23}} \approx 5.32 \times 10^{-26}\,\кг \]
Шаг 3. Определение характеристик
Максимальная скорость \(v_{mp}\) (скорость моды распределения):
\[ v_{mp} = \sqrt{\frac{2 k T}{m}} \]
Подставим значения:
\[ v_{mp} = \sqrt{\frac{2 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 600}{5.32 \times 10^{-26}}} \]
Рассчитаем числитель:
\[ 2 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 600 = 1.656 \times 10^{-20} \]
Делим на массу:
\[ \frac{1.656 \times 10^{-20}}{5.32 \times 10^{-26}} \approx 3.112 \times 10^{5} \]
Корень:
\[ v_{mp} \approx \sqrt{3.112 \times 10^{5}} \approx 558\, м/с \]
Шаг 4. Расчет искомой части
Нам нужно найти долю молекул со скоростью от 1000 м/с до 1050 м/с. В распределении Максвелла для этой задачи употребляется следующая формула:
\[ \text{Доля} = \frac{\int_{v_1}^{v_2} f(v) dv}{\int_{0}^{\infty} f(v) dv} \]
Однако расчет интеграла для этого распределения лучше сделать через стандартные функции — например, через сферический Закон Максвелла в форме функции вероятности:
\[ P(v) dv = \left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3/2} 4\pi v^2 \exp\left(-\frac{m v^2}{2 k T}\right) dv \]
Стандартизируем переменную:
\[ x = v / v_{rms} \]
где средняя квадратичная скорость:
\[ v_{rms} = \sqrt{\frac{3 k T}{m}} \]
Посчитаем \( v_{rms} \):
\[ v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 600}{5.32 \times 10^{-26}}} \]
числитель:
\[ 3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 600 = 2.628 \times 10^{-20} \]
поделить на массу:
\[ \frac{2.628 \times 10^{-20}}{5.32 \times 10^{-26}} \approx 4.94 \times 10^{5} \]
взять корень:
\[ v_{rms} \approx \sqrt{4.94 \times 10^{5}} \approx 703\, м/с \]
Теперь, чтобы найти долю молекул с \(v\) в диапазоне 1000–1050 м/с, которые значительно превышают \(v_{rms}\) (~703 м/с), используем нормальную аппроксимацию для части распределения.
Шаг 5. Стандартизация и расчет вероятности
Т.к. распределение скоростей близко к гауссовскому для больших \(v\), используем представление:
\[ z = \frac{v - v_{mean}}{\sigma} \]
Для распределения Максвелла, в высоких скоростях, приближается к:
\[ P(v) \sim \exp\left(-\frac{m v^2}{2 k T}\right) \]
или по аналогии с гауссом:
\[ P(v) \sim \exp\left(-\frac{v^2}{2 v_{rms}^2}\right) \]
вероятно, более точно. Тогда для расчетов:
\[ \text{доля} = \int_{v_1}^{v_2} \frac{v^2}{\sqrt{2\pi} \sigma^3} \exp\left(-\frac{v^2}{2\sigma^2}\right) dv \]
Далее можно применять стандартную таблицу вероятностей гауссова распределения.
Оценка вероятности
Поскольку \(v_{rms} \approx 703\, м/с\), а диапазон скоростей — от 1000 до 1050 м/с, что значительно выше, вероятности соответствуют очень малым значениям гауссовского распределения.
Значения:
\[ z_1 = \frac{1000 - 703}{703} \approx 0.42 \] \[ z_2 = \frac{1050 - 703}{703} \approx 0.49 \]
Для этих \(z\)-значений из таблиц Гаусса вероятность (площадь под кривой):
\[ P(>1000\,м/с) \approx 1 - \Phi(0.42) \approx 1 - 0.6628 = 0.3372 \]
\[ P(>1050\,м/с) \approx 1 - \Phi(0.49) \approx 1 - 0.6879 = 0.3121 \]
Общая вероятность, что скорость попадает между 1000 и 1050 м/с — это разница:
\[ 0.3372 - 0.3121 = 0.0251 \]
То есть около 2.51% от всех молекул кислорода.
Итог
Ответ: около 2.5% молекул кислорода при температуре 600 К имеют скорость в диапазоне от 1000 м/с до 1050 м/с.
Если нужен более точный расчет или упрощение — скажите!
