Какая часть молекул кислорода, нагретого до 600 К, имеет скорость в диапазоне от 1000 м/c до 1050 м/c? Ответ дать в процентах. дать ответ в процентах

Давайте решим задачу, используя принцип распределения скоростей молекул газа — Закон Максвелла. ### Шаг 1. Основные формулы Распределение скоростей молекул в идеальном газе описывается функцией Максвелла: \[ f(v) = \left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} 4\pi v^2 \exp\left(-\frac{m v^2}{2 k T}\right) \] Где: - \( m \) — масса молекулы кислорода, - \( v \) — скорость, - \( T \) — температура в Кельвинах (600 К), - \( k \) — постоянная Больцмана (\(1.38 \times 10^{-23}\, \Дж/К \)), - \( m \) — масса одной молекулы кислорода \(\mathrm{O_2}\), равна \( m = \frac{M}{N_A} \), где \( M \) — молекулярная масса кислорода (32 г/моль или 0.032 кг/моль), \( N_A \) — число Авогадро (\(6.022 \times 10^{23}\)). ### Шаг 2. Расчет массы молекулы кислорода \[ m = \frac{0.032\,\кг/моль}{6.022 \times 10^{23}} \approx 5.32 \times 10^{-26}\,\кг \] ### Шаг 3. Определение характеристик Максимальная скорость \(v_{mp}\) (скорость моды распределения): \[ v_{mp} = \sqrt{\frac{2 k T}{m}} \] Подставим значения: \[ v_{mp} = \sqrt{\frac{2 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 600}{5.32 \times 10^{-26}}} \] Рассчитаем числитель: \[ 2 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 600 = 1.656 \times 10^{-20} \] Делим на массу: \[ \frac{1.656 \times 10^{-20}}{5.32 \times 10^{-26}} \approx 3.112 \times 10^{5} \] Корень: \[ v_{mp} \approx \sqrt{3.112 \times 10^{5}} \approx 558\, м/с \] ### Шаг 4. Расчет искомой части Нам нужно найти долю молекул со скоростью от 1000 м/с до 1050 м/с. В распределении Максвелла для этой задачи употребляется следующая формула: \[ \text{Доля} = \frac{\int_{v_1}^{v_2} f(v) dv}{\int_{0}^{\infty} f(v) dv} \] Однако расчет интеграла для этого распределения лучше сделать через стандартные функции — например, через сферический Закон Максвелла в форме функции вероятности: \[ P(v) dv = \left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3/2} 4\pi v^2 \exp\left(-\frac{m v^2}{2 k T}\right) dv \] Стандартизируем переменную: \[ x = v / v_{rms} \] где средняя квадратичная скорость: \[ v_{rms} = \sqrt{\frac{3 k T}{m}} \] Посчитаем \( v_{rms} \): \[ v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 600}{5.32 \times 10^{-26}}} \] числитель: \[ 3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 600 = 2.628 \times 10^{-20} \] поделить на массу: \[ \frac{2.628 \times 10^{-20}}{5.32 \times 10^{-26}} \approx 4.94 \times 10^{5} \] взять корень: \[ v_{rms} \approx \sqrt{4.94 \times 10^{5}} \approx 703\, м/с \] Теперь, чтобы найти долю молекул с \(v\) в диапазоне 1000–1050 м/с, которые значительно превышают \(v_{rms}\) (~703 м/с), используем нормальную аппроксимацию для части распределения. ### Шаг 5. Стандартизация и расчет вероятности Т.к. распределение скоростей близко к гауссовскому для больших \(v\), используем представление: \[ z = \frac{v - v_{mean}}{\sigma} \] Для распределения Максвелла, в высоких скоростях, приближается к: \[ P(v) \sim \exp\left(-\frac{m v^2}{2 k T}\right) \] или по аналогии с гауссом: \[ P(v) \sim \exp\left(-\frac{v^2}{2 v_{rms}^2}\right) \] вероятно, более точно. Тогда для расчетов: \[ \text{доля} = \int_{v_1}^{v_2} \frac{v^2}{\sqrt{2\pi} \sigma^3} \exp\left(-\frac{v^2}{2\sigma^2}\right) dv \] Далее можно применять стандартную таблицу вероятностей гауссова распределения. ### Оценка вероятности Поскольку \(v_{rms} \approx 703\, м/с\), а диапазон скоростей — от 1000 до 1050 м/с, что значительно выше, вероятности соответствуют очень малым значениям гауссовского распределения. Значения: \[ z_1 = \frac{1000 - 703}{703} \approx 0.42 \] \[ z_2 = \frac{1050 - 703}{703} \approx 0.49 \] Для этих \(z\)-значений из таблиц Гаусса вероятность (площадь под кривой): \[ P(>1000\,м/с) \approx 1 - \Phi(0.42) \approx 1 - 0.6628 = 0.3372 \] \[ P(>1050\,м/с) \approx 1 - \Phi(0.49) \approx 1 - 0.6879 = 0.3121 \] Общая вероятность, что скорость попадает между 1000 и 1050 м/с — это разница: \[ 0.3372 - 0.3121 = 0.0251 \] То есть около **2.51%** от всех молекул кислорода. ### Итог **Ответ: около 2.5%** молекул кислорода при температуре 600 К имеют скорость в диапазоне от 1000 м/с до 1050 м/с. --- Если нужен более точный расчет или упрощение — скажите!