реши задачу по фото
Дано квадратное уравнение с параметром \(b\):
\[ x^2 + \frac{b}{2}x + b = 0 \]
Нужно определить, для скольких значений параметра \(b\) уравнение имеет ровно одно решение.
Шаг 1: Запишем дисcriminант
Для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) дискриминант равен \(D = b^2 - 4ac\).
В нашем случае:
- \(a = 1\),
- коэффициент при \(x\) — \(\frac{b}{2}\),
- свободный член — \(b\).
Обозначим параметры:
- \(A = 1\),
- \(B = \frac{b}{2}\),
- \(C = b\).
Тогда дискриминант:
\[ D = B^2 - 4 \cdot A \cdot C = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot b. \]
Посчитаем:
\[ D = \frac{b^2}{4} - 4b. \]
Шаг 2: Условие для одного решения
Уравнение имеет ровно одно решение, когда дискриминант равен нулю:
\[ D = 0. \]
Подставим выражение для \(D\):
\[ \frac{b^2}{4} - 4b = 0. \]
Шаг 3: Решение уравнения
Домножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:
\[ b^2 - 16b = 0. \]
Факторизуем:
\[ b(b - 16) = 0. \]
Отсюда получаем два решения:
\[ b = 0 \quad \text{или} \quad b = 16. \]
Ответ:
Значения параметра \(b\), при которых уравнение имеет ровно одно решение:
\[ \boxed{ b = 0 \quad \text{и} \quad b = 16. } \]
Количество таких условий: 2.
