Дано квадратное уравнение с параметром (b):
[ x^2 + \frac{b}{2}x + b = 0 ]
Нужно определить, для скольких значений параметра (b) уравнение имеет ровно одно решение.
Шаг 1: Запишем дисcriminант
Для квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0) дискриминант равен (D = b^2 - 4ac).
В нашем случае:
- (a = 1),
- коэффициент при (x) — (\frac{b}{2}),
- свободный член — (b).
Обозначим параметры:
- (A = 1),
- (B = \frac{b}{2}),
- (C = b).
Тогда дискриминант:
[
D = B^2 - 4 \cdot A \cdot C = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot b.
]
Посчитаем:
[
D = \frac{b^2}{4} - 4b.
]
Шаг 2: Условие для одного решения
Уравнение имеет ровно одно решение, когда дискриминант равен нулю:
[
D = 0.
]
Подставим выражение для (D):
[
\frac{b^2}{4} - 4b = 0.
]
Шаг 3: Решение уравнения
Домножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:
[
b^2 - 16b = 0.
]
Факторизуем:
[
b(b - 16) = 0.
]
Отсюда получаем два решения:
[
b = 0 \quad \text{или} \quad b = 16.
]
Ответ:
Значения параметра (b), при которых уравнение имеет ровно одно решение:
[
\boxed{
b = 0 \quad \text{и} \quad b = 16.
}
]
Количество таких условий: 2.
